Beweisen und berechnen der Schätzer

Question

Gegeben sei eine mathematische Stichprobe {X1,X2, . . . , Xn} aus einer Grundgesamtheit.
Zur Schätzung des Erwartungswertes der Grundgesamtheit betrachten wir folgende drei Schätzer:

• Z1 := 1/2(X₁ + X₅)
• Z2 := 1/5(X₁ + 3 · X₃ + X₅)
• Z3 := 1/5(2 · X₁ + 2 · X₃ + X₅)

a) Beweisen Sie, dass alle drei Schätzer erwartungstreu sind.

b) Berechnen Sie die Varianzen der Schätzer. Welcher von diesen drei Schätzern ist der wirksamste?

Answer 1

a)

Bestimme den Erwartungswert der Schätzfunktion und schau ob der Erwartungswert der Grundgesamtheit heraus kommt.

E(Z1) = E(1/2 * (X1 + X5)) = 1/2 * E(X1 + X5) = 1/2 * (E(X1) + E(X5)) = 1/2 * (μ + μ) = μ

Das sollte bei allen 3 Schätzern natürlich der Fall sein.

b)

Bilde jetzt auch noch die Varianzen der Schätzfunktion. Und vergleiche die Varianzen miteinander.

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Schau dir dazu gerne auch Erklärvideos an.

Z.B. hier ein verständliches Video von Lennart