Kurve gesucht die zu gegebener Funktion immer gleichen Abstand hat

Question

Ich habe mir selber die Frage gestellt, wie eine Kurve aussehen müsste welche zu einer vorgegebenen Funktion immer den gleichen Abstand besitzt..

Hat jemand Ideen?

Danke schonmal

Comments

Hi,

kannst Du das spezifieren?

Ist diese "Funktion" eine Gerade? Dann ist die Funktion, welche immer den gleichen Abstand haben soll, einfach eine Parallele (so schauts aufm Bild aus).

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Hi,

ne ich hab das Bild nur zur Veranschaulichung erstellt.. Also ich suche eine Kurve g(x) die zu irgendeiner Funktion f(x) immer den gleichen Abstand hat.. Normalerweise müsste dies ja gehen und ich suche eine allgemeine Vorschrift für x-beliebige Funktionen..

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Als Beispiel könnte man ja mal versuchen so eine Funktion für die Normalparabel zu finden

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Meinst du eine parallel verschobene Kurve?

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hm eine durch parallelverschiebung geht das nicht.. wenn man die normalparabel um 1 nach unten verschiebt, ist der abstand der kurven nicht immer 1.. es müsste denk ich schon eine andere Funktion sein

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*Hust*

ich bin jetzt etwas zu faul, aber was man machen könnte wäre für x = 1 und x = 2 eine Normale zur Tangente in diesen Stellen zu bilden. Dann kann man den Abstand 1 annehmen und schauen welche Punkte sich ergeben (für x = 0 ist die Sache klar). Damit hat man drei Punkte, mit welcher man eine neue Parabel basteln kann. Überprüfe mit x = ? ob diese Überlegung zum Ziel geführt hat (also ob es reicht eine neue Parabel zu beschreiben, oder ob das keine Parabel mehr sein kann).

Viel Spaß beim Knobeln ;).

P.S.: Mit Überlegung reicht auch eine Normale auszurechnen, da y = ax^2+c gelten muss, da Achsensymmetrisch ;)

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ich hab bis jetzt mal das hier raus..

Answer 1

Das geht leider nicht so einfach. Eine Funktion die zur Normalparabel an jedem Punkt den gleichen Abstand hat ist leider keine Parabel mehr. Das ist eine Sehr viel kompliziertere Funktion. Einen allgemeinen Funktionsterm gibt es dafür nicht. Generell behilft man sich dann mit abschnittsweisen Näherungen. Das Problem hat man z.B. bei Rotationskörpern, wenn man die Außenfläche und Innenfläche über Funktionen darstellen will.

Answer 2

Hallo Einmaleinser,

  nach reiflichem Überlegen bin ich der Meinung
das es nicht zu jeder Funktion f(x) ( Kurve ) eine
Funktion g(x) mit der von dir gewünschten
Eigenschaft gibt.

  Für den oberen Punkt von f gibt es den geforderten
Punkt auf g nicht. Es lassen sich beliebig viele Beispiele
ausdenken.

  mfg Georg

Comments

Hallo georgborn,

danke für deine Antwort..

aber ich denke für einen beliebig gesuchten Abstand könnte man in deiner Zeichnung g auch oberhalb von f einzeichnen.. Somit wäre der gleichbleibende Abstand gewahrt. Aber ich habe nun eine allgemeine Parameterdarstellung für beliebige Funktionen hergeleitet.. Zumindest funktioniert sie schonmal für beliebige Punkte auf einer Parabel:

 

Leider keine explizite Darstellung aber ich denke das ist auch nicht möglich.. Ich würd das gern mal für einige Funktionen zeichnen lassen aber keine Ahnung mit welchem Programm das geht..

Ups.. hab vergessen die Wurzeln einzufügen..

Also die Parameterdarstellung sollte so aussehen:

y(u)=f(u)-a/(f'(u)²+1)^0,5

x(u)=u+af'(u)/(f'(u)²+1)^0,5

Grüße

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Hallo Einmaleinser,

" aber ich denke für einen beliebig gesuchten Abstand könnte
man in deiner Zeichnung g auch oberhalb von f einzeichnen.. "

  Habe ich einmal gemacht.

  ich glaube nicht das du für g eine Funktionsgleichung aufstellen
kannst, auch nicht abschnittsweise definiert..

  Nachtrag : nachdem ich dein Zitat eingefügt habe fiel mir dein
Vorschlag auf die Funktion g komplett oberhalb von f anzusiedeln.
  Dies dürfte möglich und richtig sein. Aber wie schaut es aus
wenn links und rechts des Skizzenausschnitts Tiefpunkte kommen
( ähnlich der sin-Kurve ). Ich muß das selbst nocheinmal aufmalen.

  mfg Georg
 

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Hallo Einmaleinser,

hier einmal eine Skizze einer sin-Funktion ( f-Funktion, blaue Farbe )

 

Oberhalb und unterhalb die Funktion g ( grüne Farbe ) mit dem
Abstand a

Im oberen Teil der sin-Funktion muß die Funktion g1 genommen
werden, da der Abstand von f  zur unteren grünen Kurve größer a ist.

Ebenso muß im unteren Teil der f-Funktion die Funktion g2
genommen werden.

Koordinaten des Punkts A  : x = 2.4  f(2.4) = 0.62
Koordinaten des Punkts A1 : x = 3.4 g1(3.4) = 0.82
A ( 2.4 l 0.62 ) hat zu A1 ( 3.4 l 0.82 ) den Abstand a.

g muß in Abschnitte aufgeteilt werden.
Definitionsbereiche von g
D ( g1 ) = π / 2 .. 3.4
D ( g2 ) = 2.8 .. 3/2 π
Die Abschnitte der Funktion g überschneiden sich also
( siehe Skizze ). Ich denke das ist mathematisch unzulässig.

mfg Georg

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Hi,

ja ich hab jetzt ein Programm im Internet gefunden mit dem ich Funktionen in Parameterdarstellung zeichnen lassen kann..

Bei der Parabel funktionierts wunderbar.. aber dann der Sinus... f(x)=4sin(x)

Dann wird's merkwürdig.. aber die Abstände bleiben für entsprechende Punkte schon gewahrt, nur überschneidet sich es halt mit der Kurve..naja, also eine Funktion ist das nicht aber wie du schon gesagt hast ist eine für manche Funktionen f eine mathematische Funktion g mit gleichbleibendem Abstand dann wohl nicht möglich.

Grüße