0 Daumen
363 Aufrufe

Bild1.png

X= 0.38*3+0.15*10+*0.15*16+0.32*12

Erwartungswert von Y= (1.79*X)*941

Varianz von Y = (1.79^2*x)*941- ((1.79*x)*941)^2


Passt der Rechenweg bis hierhin? Und wie berechne ich nun den Wert für x?

Avatar von

2 Antworten

0 Daumen

Aloha :)

Wir haben hier \(n=941\) Zufallsvariablen \(X_1,X_2,\ldots,X_{941}\) gegeben, die alle derselben Dichtefunktion folgen. Daher haben sie auch alle denselben Erwartungswert \(\mu(X_k)\) und dieselbe Varianz \(\sigma^2(X_k)\).$$\left<X_k\right>=3\cdot0,38+10\cdot0,15+16\cdot0,15+12\cdot0,32=8,88$$$$\left<X_k^2\right>=3^2\cdot0,38+10^2\cdot0,15+16^2\cdot0,15+12^2\cdot0,32=102,9$$$$\leadsto\quad\mu(X_k)=8,88\quad;\quad\sigma^2(X_k)=\left<X_k^2\right>-\left<X_k\right>^2=102,9-8,88^2=24,0456$$

Bei \(n\) unabhängigen Zufallsvariablen addieren sich die Erwartungswerte und die Varianzen.

Für \(X=X_1+X_2+\ldots+X_{941}\) gilt daher:$$\mu(X)=941\cdot8,88=8356,08\quad;\quad\sigma^2(X)=941\cdot24,0456=22626,91$$

Für die Zufallsvariable \(Y=1,79\cdot X\) heißt das:$$\mu(Y)=1,79\cdot\mu(X)=14957,3832\quad;\quad \sigma^2(Y)=1,79^2\cdot\sigma^2(X)\approx40502,17$$

Nach dem zentralen Grenzwertsatz folgt \(X\) und damit auch \(Y\) einer Normalverteilung. Daher können wir folgende Ungleichung wie folgt lösen:$$0,82\stackrel!=P(Y<x)=\phi\left(\frac{x-\mu(Y)}{\sigma(Y)}\right)\implies \frac{x-\mu(Y)}{\sigma(Y)}=\phi^{-1}(0,82)\approx0,915365\implies$$$$x\approx0,915365\cdot\sigma(Y)+\mu(Y)\implies x\approx15203,85$$

Avatar von 152 k 🚀

Hallo! Vielen Dank für die Erklärung. Ihnen ist glaube ich bei der Varianz von Y ein Fehler unter laufen, da ich dort 72498,88105 als Ergebnis bekomme. Und wenn man mit dieser Zahl dann x berechnet kommen auch die 15203 raus.

Oha, ja ich hatte anscheinend tatsächlich bei der Varianz \(\sigma^2(X)\) einen Tippfehler im Rechner. Habe ihn korrigiert ;)

Der Rechenweg bleibt aber derselbe...

0 Daumen

μX = 3·0.38 + 10·0.15 + 12·0.32 + 16·0.15 = 8.88

σ²X = 3^2·0.38 + 10^2·0.15 + 12^2·0.32 + 16^2·0.15 - 8.88^2 = 24.0456


P(Y < x) = NORMAL((x - 941·1.79·8.88)/(√(941·1.79^2·24.0456))) = 0.82 --> x = 15203.85089

Damit habe ich ein etwas abweichendes Ergebnis als Tschakabumba. Rechne also nochmals genau nach.

Avatar von 487 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community