Aloha :)
Wir haben hier \(n=941\) Zufallsvariablen \(X_1,X_2,\ldots,X_{941}\) gegeben, die alle derselben Dichtefunktion folgen. Daher haben sie auch alle denselben Erwartungswert \(\mu(X_k)\) und dieselbe Varianz \(\sigma^2(X_k)\).$$\left<X_k\right>=3\cdot0,38+10\cdot0,15+16\cdot0,15+12\cdot0,32=8,88$$$$\left<X_k^2\right>=3^2\cdot0,38+10^2\cdot0,15+16^2\cdot0,15+12^2\cdot0,32=102,9$$$$\leadsto\quad\mu(X_k)=8,88\quad;\quad\sigma^2(X_k)=\left<X_k^2\right>-\left<X_k\right>^2=102,9-8,88^2=24,0456$$
Bei \(n\) unabhängigen Zufallsvariablen addieren sich die Erwartungswerte und die Varianzen.
Für \(X=X_1+X_2+\ldots+X_{941}\) gilt daher:$$\mu(X)=941\cdot8,88=8356,08\quad;\quad\sigma^2(X)=941\cdot24,0456=22626,91$$
Für die Zufallsvariable \(Y=1,79\cdot X\) heißt das:$$\mu(Y)=1,79\cdot\mu(X)=14957,3832\quad;\quad \sigma^2(Y)=1,79^2\cdot\sigma^2(X)\approx40502,17$$
Nach dem zentralen Grenzwertsatz folgt \(X\) und damit auch \(Y\) einer Normalverteilung. Daher können wir folgende Ungleichung wie folgt lösen:$$0,82\stackrel!=P(Y<x)=\phi\left(\frac{x-\mu(Y)}{\sigma(Y)}\right)\implies \frac{x-\mu(Y)}{\sigma(Y)}=\phi^{-1}(0,82)\approx0,915365\implies$$$$x\approx0,915365\cdot\sigma(Y)+\mu(Y)\implies x\approx15203,85$$
