Matrix, Eigenvektoren und orthogonale Matrix S, sodass S^-1MS eine Diagonalmatrix ist.

Question

Aufgabe:

a)

Bestimmen Sie für die folgende Matrix Eigenwerte und Eigenvektoren und die algebraische und geometrische Vielfachheit der Eigenwerte:

M= $$ \begin{pmatrix} 1& 1 & 1 \\ 1 & 1 &1 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} $$

b)

Geben Sie, falls möglich, eine orthogonale Matrix S3 an, so dass S^(-1)MS eine Diagonalmatrix ist.

Problem/Ansatz:

Also ich habe die Eigenwerte bestimmt:

Es ist ein doppelter Eigenwert 0 und der einfache Eigenwert 3.

Wenn ich nun die Eigenvektoren berechnen will, dann setze ich den Eigenwert 3 ein und bekomme einen Eigenvektor (1,1,1)^T

Wenn ich Eigenvektoren für die doppelte Nullstelle 0 berechnen will, komme ich auf die Matrix:

$$ \begin{pmatrix} 1& 1 & 1 \\ 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} $$

Nun kann ich ja X3 und X2 beliebig setzen. sprich, ich setze X3=X2=1.

Somit ist X1= -2 und der EV ist (-2,1,1)^T

hat dieser Eigenwert nun nur einen Eigenvektor? Oder muss ich noch einen zweiten Eigenvektor für diesen Eigenwert finden? Sprich hier: X3=1, X2=-1, X1=0 -> EV (0,-1,1)^T

Und bei der b): Bei den ganzen Aufgaben mit Matrix S so bestimmen, dass S^-1MS = eine Diagonalmatrix muss man einfach die EV in die Spalten einer Matrix schreiben, oder? Und wenn diese orthogonal sein soll, dann muss sie auch normiert sein?

Kann mich da jemand bitte kurz aufklären?

Ich würde mich über Hilfe freuen

Answer 1

Aloha :)

$$M=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1\end{array}\right)$$

zu a) Die Eigenwerte \(\lambda_1=3\) und \(\lambda_2=\lambda_3=0\) hast du richtig bestimmt. Der Eigenvektor zum Eigenwert \(\lambda_1=3\) ist auch korrekt. Die Eigenvektoren zum Eigenwert \(0\) fehlen noch:

$$\begin{array}{ccc|c|l}x & y & z & = &\text{Aktion}\\\hline 1-0 & 1 & 1 & 0 &\\1 & 1-0 & 1 & 0 &\\1 & 1 & 1-0 & 0\\\hline 1 & 1 & 1 & 0 &\\1 & 1 & 1 & 0 &-\text{Gleichung 1}\\1 & 1 & 1 & 0 &-\text{Gleichung 1}\\\hline 1 & 1 & 1 & 0 &\Rightarrow x+y+z=0\\0 & 0 & 0 & 0 &\checkmark\\0 & 0 & 0 & 0 & \checkmark\end{array}$$Wir erhalten 2 Gleichungen, die immer erfüllt sind. Die einzige Forderung an die Lösungsvektoren lautet \((z=-x-y)\). Wir schreiben alle Lösungsvektoren auf:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\\-x-y\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}$$Es gibt also zu dem doppelten Eigenwert \(\lambda_2=\lambda_3=0\) zwei verschiedene Eigenvektoren.

Wir fassen zusammen:$$\lambda_1=3\;;\;\vec v_1=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\quad;\quad \lambda_2=0\;;\;\vec v_2=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\quad;\quad\lambda_3=0\;;\;\vec v_3=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}$$Die algebraische Vielfachheit der Eigentwerte ist 2 und ihre geometrische ist 3.

zu b) Da die Eigenvektoren bereits orthogonal sind, brauchst du sie nur noch zu normieren und in eine Matrix zu schreiben:

$$S=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt3} & \frac{1}{\sqrt2} & 0\\[1ex]\frac{1}{\sqrt3} & 0 & \frac{1}{\sqrt2}\\[1ex]\frac{1}{\sqrt3} & -\frac{1}{\sqrt2} & -\frac{1}{\sqrt2}\end{array}\right)$$

Comments

Nach meinen Berechnungen sind die beiden Eigenvektoren zum Eigenwert 0 nicht orthogonal.

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Achso, vielen Dank, ich war mir nicht sicher, ob man bei doppelten Eigenwerten nur einen Eigenvektor rausbekommt, einen doppelt nehmen muss oder 2 verschiedene zueinander orthogonale Eigenvektoren aus den Gleichungen finden muss. Dann ist wohl letzteres der Fall.

Und das mit dem normieren hat mich verwirrt, da hier von orthogonal und nicht orthonormal gesprochen wurde.

Vielen Dank für die Hilfe :)

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Ach die Eigenvektoren müssen nicht orthogonal sein? Oder müssen sie es?

Jetzt bin ich verwirrt :D

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Doch die Eigenvektoren müssen orthogonal gemacht werden, da du ja eine orthogonale Matrix angeben sollst.

Ich habe allerdings oben nicht aufgepasst, Arsinoe4 hat es zum Glück gemerkt.

Danke dafür ;)

Die beiden Eigenvektoren zum Eigenwert \(0\) sind nocht nicht orthogonal zuenander. Du müsstest also die Projektion von \(\vec v_3\) auf \(\vec v_2\) noch von \(v_3\) subtrahieren:

$$\vec w=\vec v_3-\frac{(\vec v_2\cdot\vec v_3)}{\|\vec v_2\|\cdot\|\vec v_2\|}\cdot\vec v_2=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}-\frac{1}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1/2\\1\\-1/2\end{pmatrix}$$Diesen Vektor \(\vec w\) kannst du noch normieren:$$\vec w^0=\frac{1}{\sqrt6}\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}$$

Die Matrix \(S\) sieht also so aus:

$$S=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt3} & \frac{1}{\sqrt2} & -\frac{1}{\sqrt6}\\[1ex]\frac{1}{\sqrt3} & 0 & \frac{2}{\sqrt6}\\[1ex]\frac{1}{\sqrt3} & -\frac{1}{\sqrt2} & -\frac{1}{\sqrt6}\end{array}\right)$$

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Achso, vielen Dank für die Hilfe, ich glaube ich habe das alles jetzt verstanden :)

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Meines Erachtens stimmt es immer noch nicht. Der letzte normierte Eigenvektor sollte nach meinen Berechnungen \(\frac1{\sqrt6}{\small\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}}\) lauten.

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Auch nach der zweiten Korrektur ist es noch falsch.

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Ich habe gerade Omikrönchen... das geht offenbar auf die Genauigkeit ;)

Jetzt sollte es passen.