Aloha :)
Wir betrachten zuerst die homogene Situation:$$y'_0(x)+\sin(x)\cdot y_0(x)=0\quad\big|-\sin(x)\cdot y_0(x)$$$$y'_0(x)=-\sin(x)\cdot y_0(x)\quad\big|\colon y_0(x)$$$$\frac{y'_0(x)}{y_0(x)}=-\sin(x)\quad\big|\text{integrieren}$$$$\ln\left|y_0(x)\right|=\cos(x)+C_1\quad\big|e^{\cdots}$$$$y_0(x)=e^{\cos(x)+C_1}=\underbrace{e^{C_1}}_{\eqqcolon C_2}\cdot e^{\cos(x)}=C_2\cdot e^{\cos(x)}$$
Nun nehmen wir die "Störung" \(\sin(x)\cos(x)\) hinzu:$$y'(x)+\sin(x)\cdot y(x)=\sin(x)\cos(x)$$und wählen als Lösungsansatz die gerade gefundene homogene Lösung, halten die Konstante \(C_2\) aber nicht mehr konstant, sondern machen sie als \(c(x)\) variabel:$$y(x)=c(x)\cdot e^{\cos(x)}\quad\implies\quad y'(x)=c'(x)\cdot e^{\cos(x)}-c(x)\sin(x) e^{\cos(x)}$$
Wir setzen den Ansatz in die Differentialgleichung ein:$$\underbrace{c'(x)\cdot e^{\cos(x)}-c(x)\sin(x) e^{\cos(x)}}_{=y'(x)}+\sin(x)\cdot\underbrace{c(x)\cdot e^{\cos(x)}}_{=y(x)}=\sin(x)\cos(x)$$$$c'(x)\cdot e^{\cos(x)}=\sin(x)\cos(x)\quad\big|\cdot e^{-\cos(x)}$$$$c'(x)=e^{-\cos(x)}\sin(x)\cos(x)$$
Du siehst natürlich sofort, dass \(\sin(x)\cos(x)=\frac12\sin(2x)\) gilt, und möchtest partielle Integration nutzen, um \(c(t)\) zu bestimmen. Ein anderer Weg wäre die Addition einer "nahrhaften Null", den ich hier verfolge:$$c'(x)=e^{-\cos(x)}\sin(x)\cos(x)+\,\underbrace{e^{-\cos(x)}\sin(x)-e^{-\cos(x)}\sin(x)}_{=0}$$$$c'(x)=\left(e^{-\cos(x)}\sin(x)\cos(x)+e^{-\cos(x)}\sin(x)\right)-e^{-\cos(x)}\sin(x)$$$$c'(x)=e^{-\cos(x)}\sin(x)\cdot\left(\cos(x)+1\right)+e^{-\cos(x)}\cdot(-\sin(x))$$$$c'(x)=\frac{d}{dx}\left(e^{-\cos(x)}\right)\cdot\left(\cos(x)+1\right)+e^{-\cos(x)}\cdot\frac{d}{dx}(\cos(x)+1)$$$$c'(x)=\frac{d}{dx}\left(e^{-\cos(x)}\cdot(\cos(x)+1)\right)$$$$c(x)=e^{-\cos(x)}\cdot(\cos(x)+1)+C_3$$
Die Funktion \(c(x)\) setzen wir in unseren Ansatz ein:$$y(x)=c(x)\cdot e^{\cos(x)}=\left(e^{-\cos(x)}\cdot(\cos(x)+1)+C_3\right)e^{\cos(x)}$$$$y(x)=1+\cos(x)+C_3\cdot e^{\cos(x)}$$
Die Konstante \(C_3\) erhalten wir aus der Anfangsbedingung \(y(\frac\pi2)=2\):$$2\stackrel!=y\left(\frac\pi2\right)=1+0+C_3\cdot e^0=1+C_3\implies C_3=1$$
Damit haben wir schließlich als Lösung des Anfangswertproblems:$$y(x)=1+\cos(x)+e^{\cos(x)}$$
