0 Daumen
402 Aufrufe


nachfolgend meine Aufgabe:

Sei G eine Gruppe von Menschen gleichen Alters, die zum Zeitpunkt \( t_{0}=0 \) aus \( N_{0} \) Mitgliedern besteht. \( N(t) \) bedeutet die Zahl der zum Zeitpunkt \( t \) noch lebenden Mitglieder von \( G . \) Von Kriegen und Katastrophen sehen wir ab, die Gruppe soll also nur , natürlichen Todesursachen " ausgesetzt sein. Man könnte also \( -\dot{N}(t) \) als Absterbegeschwindigkeit und
$$ \alpha(t):=-\frac{\dot{N}(t)}{N(t)} $$
also durchschnittliche Absterbegeschwindigkeit zur Zeit \( t \) bezeichnen (in der Versicherungmathematik heißt \( \alpha(t) \text { "Sterbeintensität" }) . \alpha(t) \) kann man auch als Maß für die
durchschnittliche Hinfalligkeit der Gruppenmitglieder zur Zeit \( t \) interpretieren, die leider stärker wächst, je gröBer sie schon ist. Es gilt also für ein \( \mu>0 \)
$$ \dot{\alpha}(t)=\mu \alpha(t) \quad \text { mit Anfangswert } \quad \alpha(0)=\lambda<\mu $$


Meine Aufgabe ist es nun das Anfangswertproblem  $$ \dot{\alpha}(t)=\mu \alpha(t) \ $$ für alpha(t) zu lösen. Weiter soll ich dann das sich daraus mit $$ \alpha(t):=-\frac{\dot{N}(t)}{N(t)} $$


ergebende AWP zum Anfangswert N(0) = N_0 lösen.

Über eure Hilfe, freue ich mich!

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen

Hallo

die einzige funktion deren Ableitung wieder die funktion (bis auf eine Konstante ist ist die E funktion. deshalb hat man α(t)=C* et mit α(0)=λ folgt C=λ

damit hast du N'(t)=-λ*et*N(t) eine einfache Dgl , die man durch Trennung der Variablen lösen kann: dN/N=-et dt integrieren, die Integrationskoonstante durch einsetzen von N(0) bestimmen.

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

Hallo lul,


Du hast geschrieben: α(t)=C* e^t, müsste es aber nicht: $$ \alpha(t)=ce^{\mu t}$$ sein?


Hallo

du hast recht, der editor hat das μ geschluckt, und ich hab leider die Vorschau nicht beachtet, (obwohl ich das jedem sage, shame on me)

gut dass du aufpasst

lul

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community