Wie kriegt man beim Anfangswertproblem die partikuläre Lösung?

Question

Aufgabe:

8y"+6y'+y = 2x+5 y(0) = y`(0)=0

Problem/Ansatz:

Also ich weiß ich brauch sowohl die homogene Lösung als auch die partikuläre Lösung y=yh+yp

Jetzt muss 8λ²+6λ+1=0

λ= -3±\( \sqrt{8} \)? (Das sieht falsch aus. Kann mich aber auch irren)

Die homogene Lösung haben wir dann.

Wie bekomme ich die partikuläre Lösung heraus?

Answer 1

Wie kommst du auf die Lösung der quadratischen Gleichung?

8·λ^2 + 6·λ + 1 = 0 --> λ = -0.25 ∨ λ = -0.5

Answer 2

Hallo,

deine homogene Lösung stimmt nicht.

Die charakt. Gleichung lautet:

8 k^2 +6k+1=0 |:8 ->z.B pq-Formel

k^2 +(3/4)k+1/8=0 

k_1,2= (-3/8) ± √ (9/64 -1/8)

k₁= -1/4

k₂=-1/2

\( y(x)=y_{1}(x)+y_{2}(x)=C_{1} e^{-x / 2}+C_{2} e^{-x / 4} \)

yp= A+Bx

yp'=B

yp''=0

---> 2 Mal ableiten , yp yp' yp'' in die DGL einsetzen

8y"+6y'+y = 2x+5

6B+A+Bx =2x+5

Koeffizientenvergleich:

x^0: 6B+A=5  → A=-7

x^1:B=2

yp= 2x-7

y=yh+yp

Zum Schluss in die Lösung die AB einsetzen.

\( y(x)=6 e^{-x / 4}+e^{-x / 2}+2 x-7 \)

Comments

Wie kommst du bei yp auf 2x-7? Wenn man yp und die Ableitungen einsetzt bekommt man ja 0+6A+Ax+B=2x-7

Abgeleitet bekommt man

6A+B=5 Und ja für A=2 und für B=-7 kommt man dann auf 2x-7. Aber würde dann nicht auch X-1 gehen?

---

8y"+6y'+y = 2x+5

6B+A+Bx =2x+5

Koeffizientenvergleich:

x^0: 6B+A=5  → A=-7

x^1:B=2

yp= 2x-7