Aufgabe: Vektorfeld , Wegintegral, Wirbelfrei
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Wir betrachten in \( \mathbb{R}^{2} \) bzw. \( \mathbb{R}^{3} \) die beiden Vektorfelder \( F(x, y)=\left(\begin{array}{c}-y \\ x\end{array}\right) \quad \) und \( \quad G(x, y, z)=\left(\begin{array}{c}y \\ x \\ \cos (z)\end{array}\right) \) und den parametrisierten Weg \( \gamma:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{2} \)
\( \gamma(t)=(\cos (2 \pi t), 2 \sin (2 \pi t)) \)
(a) Stellen Sie den Weg \( \gamma \) in der Ebene graphisch dar. Geben Sie die Spur von \( \gamma \) als Lösungsmenge einer Gleichung in \( \mathbb{R}^{2} \) dar (Hinweis: Ellipsen-Gleichung). Ist \( \gamma \) nach Bogenlänge parametrisiert? Begründen Sie Ihre Antwort.
(b) Berechnen Sie das Wegintegral des Vektorfeldes \( F \) entlang \( \gamma \), also:
\( \int \limits_{\mathrm{Sp} \gamma}\langle F(\vec{v}), d \vec{v}\rangle=\int \limits_{0}^{1}\left\langle F(\gamma(t)), \gamma^{\prime}(t)\right\rangle d t \)
(c) Besitzt das Vektorfeld \( F \) eine Stammfunktion? Begründen Sie Ihre Antwort!
(d) Zeigen Sie, dass \( G \) wirbelfrei ist und bestimmen Sie eine Stammfunktion.
Problem/Ansatz:
Hey ich habe ein Paar Aufgaben bekommen welche ich leider nicht lösen kann.. Ich würde mich freuen, wenn mir hier jemand weiter helfen kann
