Wegintegral mit Vektorfeld

Question

Kann mir jemand erklären wie ich bei Teilaufgabe b) und c) vorgehe steigt da irgendwie nicht ganz durch

Aufgabe:
Gegeben sei die vektorwertige Funktion f(x, y) =(3x²y; x³ + 2y)
a) Zeigen Sie, dass f(x, y) ein Gradientenfeld ist.

b) Berechnen Sie das Wegintegral $\int\limits_{γ}^{}$ f  • ds vom Punkt (1,1) zum Punkt (4,2) entlang eines achsenparallelen Weges.

c) Berechnen Sie das Wegintegral $\int\limits_{γ}^{}$ f • ds vom Punkt (1,1) zum Punkt (4,2) explizit entlang der Kurve y=$\sqrt{x}$

d) Bestimmen Sie die allgemeine Stammfunktion von f(x,y).

Answer 1

Aloha :)

b) Weg parallel zu den Koordinatenachsen.

$$I=\int\limits_{(1;1)}^{(4;2)}\vec f(x,y)\,d\vec r=\int\limits_{(1;1)}^{(4;2)}\left(\begin{array}{c}3x^2y\\x^3+2y\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}dx\\dy\end{array}\right)$$

Wir sollen einen Weg wählen, der parallel zu den Koordinatenachsen verläuft. Mein Vorschlag ist von $(1;1)$ nach $(4;1)$ und von da weiter zu $(4;2)$.

$$I=\int\limits_{(1;1)}^{(4;1)}\left(\begin{array}{c}3x^2y\\x^3+2y\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}dx\\dy\end{array}\right)+\int\limits_{(4;1)}^{(4;2)}\left(\begin{array}{c}3x^2y\\x^3+2y\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}dx\\dy\end{array}\right)$$Beim ersten Integral ist $y=1$ fest, sodass $dy=0$ ist. Im zweiten Integral ist $x=4$ fest und $dx=0$.

$$I=\int\limits_{(1;1)}^{(4;1)}3x^2y\,dx+\int\limits_{(4;1)}^{(4;2)}(x^3+2y)dy=\int\limits_1^4 3x^2\,dx+\int\limits_1^2(4^3+2y)dy$$$$\phantom{I}=\left[x^3\right]_1^4+\left[64y+y^2\right]_1^2=130$$

c) Weg entlang der Kurve $y=\sqrt x$.

Laut Aufgabenstellung sollen wir den Ortsvektor wie folgt parametrisieren:

$$\vec r(t)=\left(\begin{array}{c}t\\\sqrt t\end{array}\right)\quad;\quad t\in[1;4]$$Ich habe extra $t$ zur Parametrisierung gewählt, damit wir nicht mit $x$ und $y$ durcheinander kommen.

$$I=\int\limits_{(1;1)}^{(4;2)}\vec f(x,y)\,d\vec r=\int\limits_1^4\vec f(\,x(t),y(t)\,)\,\frac{d\vec r}{dt}\,dt=\int\limits_1^4\left(\begin{array}{c}3t^2\sqrt t\\t^3+2\sqrt t\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\\frac{1}{2\sqrt t}\end{array}\right)\,dt$$$$\phantom{I}=\int\limits_1^4\left(3t^2\sqrt t+\frac{t^3}{2\sqrt t}+2\sqrt t\frac{1}{2\sqrt t}\right)\,dt=\int\limits_1^4\left(\frac{7}{2}t^{5/2}+1\right)\,dt$$$$\phantom{I}=\left[t^{7/2}+t\right]_1^4=128+4-1-1=130$$

Wenn du bei den Aufgabenteilen (a) und (d) noch Input brauchst, melde dich einfach nochmal ;)