Aloha :)
b) Weg parallel zu den Koordinatenachsen.
$$I=\int\limits_{(1;1)}^{(4;2)}\vec f(x,y)\,d\vec r=\int\limits_{(1;1)}^{(4;2)}\left(\begin{array}{c}3x^2y\\x^3+2y\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}dx\\dy\end{array}\right)$$
Wir sollen einen Weg wählen, der parallel zu den Koordinatenachsen verläuft. Mein Vorschlag ist von \((1;1)\) nach \((4;1)\) und von da weiter zu \((4;2)\).
$$I=\int\limits_{(1;1)}^{(4;1)}\left(\begin{array}{c}3x^2y\\x^3+2y\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}dx\\dy\end{array}\right)+\int\limits_{(4;1)}^{(4;2)}\left(\begin{array}{c}3x^2y\\x^3+2y\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}dx\\dy\end{array}\right)$$Beim ersten Integral ist \(y=1\) fest, sodass \(dy=0\) ist. Im zweiten Integral ist \(x=4\) fest und \(dx=0\).
$$I=\int\limits_{(1;1)}^{(4;1)}3x^2y\,dx+\int\limits_{(4;1)}^{(4;2)}(x^3+2y)dy=\int\limits_1^4 3x^2\,dx+\int\limits_1^2(4^3+2y)dy$$$$\phantom{I}=\left[x^3\right]_1^4+\left[64y+y^2\right]_1^2=130$$
c) Weg entlang der Kurve \(y=\sqrt x\).
Laut Aufgabenstellung sollen wir den Ortsvektor wie folgt parametrisieren:
$$\vec r(t)=\left(\begin{array}{c}t\\\sqrt t\end{array}\right)\quad;\quad t\in[1;4]$$Ich habe extra \(t\) zur Parametrisierung gewählt, damit wir nicht mit \(x\) und \(y\) durcheinander kommen.
$$I=\int\limits_{(1;1)}^{(4;2)}\vec f(x,y)\,d\vec r=\int\limits_1^4\vec f(\,x(t),y(t)\,)\,\frac{d\vec r}{dt}\,dt=\int\limits_1^4\left(\begin{array}{c}3t^2\sqrt t\\t^3+2\sqrt t\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\\frac{1}{2\sqrt t}\end{array}\right)\,dt$$$$\phantom{I}=\int\limits_1^4\left(3t^2\sqrt t+\frac{t^3}{2\sqrt t}+2\sqrt t\frac{1}{2\sqrt t}\right)\,dt=\int\limits_1^4\left(\frac{7}{2}t^{5/2}+1\right)\,dt$$$$\phantom{I}=\left[t^{7/2}+t\right]_1^4=128+4-1-1=130$$
Wenn du bei den Aufgabenteilen (a) und (d) noch Input brauchst, melde dich einfach nochmal ;)
