Implizite Funktion, Linearisierung

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Gleichung x2e2y−x = 4.

a) Untersuchen Sie mit dem Satz über implizite Funktionen, ob die Gleichung um den Punkt (2, 1) lokal nach y auflösbar ist.

b) Berechnen Sie die Linearisierung von y(x) im Punkt (2, 1), d.h. bestimmen Sie die Tangente an y(x) im entsprechenden Punkt.

c) Welche Aussage kann man mit Hilfe des Satzes über implizite Funktionen über die lokale Auflösbarkeit der Gleichung um den Punkt (2, 1) nach x machen?

d) Warum ist die Gleichung nicht lokal um den Punkt (2, 3) auflösbar (weder nach x noch nach y)?

Problem/Ansatz:

Ich habe leider nichts verstanden. Wir haben jetzt die ganze Zeit Matrizen behandelt und das jetzt angefangen. Kann mir vielleicht jemand ausführlich zeigen wie man so etwas löst, damit ich es auch wirklich nachhaltig verstehe. Vielen vielen Dank schon mal im voraus.

Max

Comments

Heißt es wirklich

$$x^2\exp(2y)-x=4$$

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vielleicht$$x^2\cdot \frac{3}{2}y-x=4$$da würde zumindest (2,1) passen

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es muss natürlich  $$x^{2}e^{2y-x}=4$$  sein

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es muss natürlich  $$x^{2}e^{2y-x}=4$$  sein

und

d) Warum ist die Gleichung nicht lokal um den Punkt (2, 3) auflösbar (weder nach x noch nach y)?

(2,3) passt dann aber nicht!?

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Ja ich hab ja keine Ahnung, deswegen habe ich ja hier gefragt!

Warum passt es denn nicht?!

Aus der Aufgabe geht ja herraus, dass es nicht lokal um (2,3) aufgelöst werden kann

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Wenn die implizite Funktion so heißt$$x^{2}e^{\left(2y-x\right)}=4$$dann ist sie ganz einfach nach \(y\) auflösbar$$y = \frac12 \ln\left(\frac{4}{x^2}\right) + \frac{x}{2}$$Und da das Argument im \(\ln\) nicht negativ werden kann, ist sie auch in (fast) ganz \(\mathbb R\) definiert$$\mathbb D = \mathbb R \backslash 0$$und somit auch für \(x=2\). Aber da \(y(2)=1\) ist, ist \((2,\,3)\) kein Punkt der Funktion.

Kannst Du nochmal prüfen, ob Du alles richtig abgeschrieben hast.

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ja ist alles korrekt.

Aber ist ja durchaus eine richtige Aussage, wenn man sagt, dass der Punkt (2,3) kein Punkt der Funktion ist.

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ist ja durchaus eine richtige Aussage, wenn man sagt, dass der Punkt (2,3) kein Punkt der Funktion ist.

Ja schon - aber die Frage

Warum ist die Gleichung nicht lokal um den Punkt (2, 3) auflösbar?

impliziert, dass \((2,\,3)\) ein Punkt der Funktion ist. Und selbst wenn man$$F(x,y) = x^{2}e^{\left(2y-x\right)}-4$$betrachtet, dann kann das meiner Meinung nach in \((2,\,3)\) in jeder Richtung abgeleitet werden.

https://www.desmos.com/calculator/yrhqaev4ep

der rote Graph ist der der Original Funktion. Die blauen Linien sind Höhenlinien von \(F\).