Aufgabe
i) \( \dot{x}(t)=\frac{t}{x^{2}(t)} \)
ii) \( \dot{x}(t)=x^{2}(t) t^{3} \)
iii) \( \quad \dot{x}(t)=\frac{t^{2}}{x(t)} \)
iv) \( \quad \dot{x}(t)=\frac{\sin (t)}{\exp (x(t))} \)
AWB: \( x\left(t_{*}\right)=x_{*} \)
Diskutieren Sie für jedes Anfangswertproblem aus Aufgabe 1 das Existenzintervall der
maximalen Lösung, wobei Sie gegebenenfalls Fallunterscheidungen treffen müssen.
Problem/Ansatz:
Für die 1. Gleichung habe ich \( x(t)=\sqrt[3]{\frac{3}{2} t^{2}+3 C} \) mit \( C=\frac{x_{*}^{3}}{3}-\frac{t_{*}^{2}}{2} \)
Bei 2 habe ich \( x(t)=-\frac{1}{\frac{1}{4} t^{4}+C} \) mit \( C=-\frac{1}{x_{*}}-\frac{t_{*}^{4}}{4} \)
3. \( x(t)=\sqrt{\frac{2 t^{3}}{3}+2 C} \) mit \( C=\frac{x_{*}^{2}}{2}-\frac{t_{*}^{3}}{3} \)
4. \( x(t)=\ln |-\cos (t)+C| \) mit \( C=\exp \left(x_{*}\right)+\cos \left(t_{*}\right) \)
Ich stehe leider komplett auf dem Schlauch wie ich konkret die Existenzintervalle bestimmen kann, habe auch viel versucht mit Plots zu arbeiten etc aber komme einfach nicht wirklich voran.
