Begründen Sie dies ohne Verwendung graphischer Hilfsmittel, sondern nutzen Sie Ihr Wissen über quadratische Funktionen.

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die quadratische Funktion f : R → R, f (x) = −x2 + 4x − 7. Auf welchen Intervallen ist die Funktion streng monoton wachsend bzw. streng monoton fallend? Begründen Sie dies ohne Verwendung graphischer Hilfsmittel, sondern nutzen Sie Ihr Wissen über quadratische Funktionen.

Problem/Ansatz:

Answer 1

f (x) = −x^2 + 4x − 7.

Der Graph ist eine nach unten geöffnete Normalparabel

wie man am "Minus" vor dem x^2 sieht. Also streng

monoton steigend von -∞ bis zum x-Wert des Scheitelpunktes

und streng monoton fallend  vom x-Wert des Scheitelpunktes bis ∞.

Scheitelpunkt erhält man durch

−x^2 + 4x − 7 = - ( x^2 - 4x + 7 )

                   = - ( x^2 - 4x +4 - 4 + 7 )

                      = - ( x^2 - 4x +4   +3 )

                           = - ( (x- 2)^2  +3 )

                        = -  (x- 2)^2  - 3

Also S(2;-3). Monotonieintervalle also

]-∞ ; 2 [  und ] 2 ; ∞ [.

Answer 2

Links vom Scheitelpunkt ist diese quadratische Funktion wachsend, rechts davon fallend.

Weil der Koeffizient des quadratischen Summanden ein negatives Vorzeichen hat, ist die Parabel nach unten offen. Hätte er das nicht, wäre sie nach oben offen, und man müsste "links" und "rechts" in der Antwort vertauschen.

Answer 3

f'(x)=-2x+4

f'(x)>0 für x<2, also wächst f streng monoton.

f'(x)<0 für x>2, also fällt f streng monoton.

:-)