Zeigen, dass die Funktionen streng monoton fallend sind

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie formal mittels der Definition von strenger Monotonie, dass die Funktionen

i.    g: R→R, g(x) = −2x+5
ii.   h: (−∞,0)→R, h(x) = x2

      Hinweis zu h: Für x1 > x0 betrachte h(x1) − h(x0) und nutze die 3. binomische Formel

auf ihrem Definitionsbereich streng monoton fallend sind.

Problem/Ansatz:

Answer 1

i.  ist streng monoton fallend.

Def.:  x1<x2 ==>  g(x1)> g(x2).

oder äquivalent auch ... ==>  g(x1)-g(x2)  > 0 .

Seien also x1,x2 ∈ℝ  mit x1 < x2

==>  g(x1)=−2x1+5   und g(x2)=−2x2+5

==>  g(x1)-g(x2) = −2x1+5  - (−2x2+5)

                       = −2x1+5  + 2x2 - 5

                         = −2x1  + 2x2

                        = 2*( -x1 + x2)

                         = 2*( x2 - x1) .

Das ist größer 0, da beide Faktoren größer 0

sind; denn x1 < x2.             q.e.d.

Answer 2

Die ersten Ableitungen sind negativ.

Zu h:

x1>x0

x1²-x0²=(x1-x0)(x1+x0)

x1-x0>0

x1+x0=-|x1|-|x0|=-(|x1|+|x0|)<0

--> h ist streng monoton fallend.

Answer 3

Aloha :)

zu i) Es seien \(x_0,x_1\in\mathbb R\) mit \(x_1>x_0\). Dann ist \((x_1-x_0>0)\) und für die Differenz der Funktionswerte gilt:$$g(x_1)-g(x_0)=\underbrace{(-2x_1+5)}_{=h(x_1)}-\underbrace{(-2x_0+5)}_{=h(x_2)}=-2x_1+2x_0=-2\underbrace{(x_1-x_0)}_{>0}<0$$$$\implies g(x_1)<g(x_0)$$Das heißt formal:$$x_1>x_0\implies g(x_1)<g(x_0)$$Wenn das Argument \(x\) größer wird, verkleinert sich der Funktionswert. Die Funktion \(g\) ist streng monoton fallend.

zu ii) Wegen des Definitionsbereichs der Funktion \(h\) seien diesmal \(x_0,x_1\in\mathbb R^{<0}\) zwei negative Zahlen mit \(x_1>x_0\). Weil die Summe zweier negativen Zahlen wieder negativ ist, ist dann \((x_1+x_0<0)\). Wegen \(x_1>x_0\) ist weiter \((x_1-x_0>0)\). Für die Differenz der Funktionswerte gilt nun:$$h(x_1)-h(x_0)=x_1^2-x_0^2=\underbrace{(x_1-x_0)}_{>0}\cdot\underbrace{(x_1+x_0)}_{<0}<0\implies h(x_1)<h(x_0)$$Das heißt formal:$$x_1>x_0\implies h(x_1)<h(x_0)$$Daher ist auch die Funktion \(h\) streng monoton fallend.