Geben Sie einen geschlossenen Ausdruck für f(x), x \in(-1,1) , an.

Question

Aufgabe:

Für alle \( x \in(-1,1) \) konvergiert die Potenzreihe
\( \sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(n-2) x^{n} \)
und definiert eine Funktion \( f:(-1,1) \rightarrow \mathbb{R} \).
Geben Sie einen geschlossenen Ausdruck für \( f(x), x \in(-1,1) \), an.

Answer 1

Für \(x\in(-1,1)\) gilt bekanntlich die geometrische Reihe:$$\begin{aligned}h(x)&=\frac1{1+x}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^n\\h^\prime(x)&=-\frac1{(1+x)^2}=\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\cdot nx^{n-1}\\[14px]f(x)&=-2h(x)+xh^\prime(x)\\[6px]&=-\frac2{1+x}-\frac x{(1+x)^2}\\[12px]&=\frac{-2-3x}{(1+x)^2}.\end{aligned}$$

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Vielen Dank!

Answer 2

\(\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(n-2) x^{n} \) lässt sich schreiben als \(\sum \limits_{n=0}^{\infty}(n+1-3) (-x)^{n} \) und zerlegen in

\(\sum \limits_{n=0}^{\infty}(n+1) (-x)^{n} -3\sum \limits_{n=0}^{\infty} (-x)^{n} \)

Der hintere Teil ist die Summe einer geometrischen Reihe. Der vordere Teil kann integriert werden und ist dann ebenfalls die Summe einer geometrischen Reihe. Bilde diese Summe und leite sie ab.

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Vielen Dank!