Leite die Funktion 1/n∑ (y - (ax^2 + bx + c ))^2 nach a, b und c ab.

Question

Aufgabe:

Leite die Funktion 1/n ∑(y - (ax²  + bx + c ))² nach a, b und c ab.

Problem/Ansatz:

Die partiellen Ableitungen sollen sein ...

nach a = -2/n ∑x² (y - (ax2  + bx + c ))

nach b = -2/n ∑x (y - (ax2  + bx + c ))

nach c = -2/n ∑(y - (ax2  + bx + c ))

aber wie kommt man darauf ? In welcher Reihenfolge benutzt man hier die Ableitungsregeln ?

Sorry wenn die mathematische Schreibweise nicht passen sollte..

Comments

Fehlt bei der Funktion evtl. Ein Quadrat, also ein "hoch 2"

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Ja, ich habe dies soeben ergänzt

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Da steht immer noch keine Funktion. Es fehlt ein Gleichheitszeichen.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Da die Summe endlich ist, kannst du die Ableitung unter dem Summenzeichen durchführen. Dazu bietet sich die Kettenregel an. Für die Ableitung nach \(a\) sieht das so aus:

$$\phantom=\frac{\partial}{\partial a}\left(\frac1n\sum\limits_{i=1}^n\left(y_i-(ax_i^2+bx_i+c)\right)^2\right)=\frac1n\sum\limits_{i=1}^n\frac{\partial}{\partial a}\left(y_i-(ax_i^2+bx_i+c)\right)^2$$$$=\frac1n\sum\limits_{i=1}^n\underbrace{2\left(y_i-(ax_i^2+bx_i+c)\right)}_{\text{äußere Ableitung}}\cdot\underbrace{\frac{\partial}{\partial a}\left(y_i-(ax_i^2+bx_i+c)\right)}_{\text{innere Ableitung}}$$$$=\frac1n\sum\limits_{i=1}^n2\left(y_i-(ax_i^2+bx_i+c)\right)\cdot(-x_i^2)=-\frac2n\sum\limits_{i=1}^nx_i^2\left(y_i-(ax_i^2+bx_i+c)\right)$$

Die beiden noch offenen Ableitungen nach \(b\) und \(c\) folgen dem gleichen Schema:

$$\phantom=\frac{\partial}{\partial b}\left(\frac1n\sum\limits_{i=1}^n\left(y_i-(ax_i^2+bx_i+c)\right)^2\right)=\frac1n\sum\limits_{i=1}^n\frac{\partial}{\partial b}\left(y_i-(ax_i^2+bx_i+c)\right)^2$$$$=\frac1n\sum\limits_{i=1}^n\underbrace{2\left(y_i-(ax_i^2+bx_i+c)\right)}_{\text{äußere Ableitung}}\cdot\underbrace{\frac{\partial}{\partial b}\left(y_i-(ax_i^2+bx_i+c)\right)}_{\text{innere Ableitung}}$$$$=\frac1n\sum\limits_{i=1}^n2\left(y_i-(ax_i^2+bx_i+c)\right)\cdot(-x_i)=-\frac2n\sum\limits_{i=1}^nx_i\left(y_i-(ax_i^2+bx_i+c)\right)$$

und nochmal copy-pasten:

$$\phantom=\frac{\partial}{\partial c}\left(\frac1n\sum\limits_{i=1}^n\left(y_i-(ax_i^2+bx_i+c)\right)^2\right)=\frac1n\sum\limits_{i=1}^n\frac{\partial}{\partial c}\left(y_i-(ax_i^2+bx_i+c)\right)^2$$$$=\frac1n\sum\limits_{i=1}^n\underbrace{2\left(y_i-(ax_i^2+bx_i+c)\right)}_{\text{äußere Ableitung}}\cdot\underbrace{\frac{\partial}{\partial c}\left(y_i-(ax_i^2+bx_i+c)\right)}_{\text{innere Ableitung}}$$$$=\frac1n\sum\limits_{i=1}^n2\left(y_i-(ax_i^2+bx_i+c)\right)\cdot(-1)=-\frac2n\sum\limits_{i=1}^n\left(y_i-(ax_i^2+bx_i+c)\right)$$

Comments

Erstmal vielen Dank.

Ich verstehe die Ableitung der inneren Funktion noch nicht ganz.

Als Beispiel nach a:

y, b und c fallen weg, weil diese jeweils als Konstante behandelt (richtig?).

Aber warum wird ax^2 zu x^2 und nicht zu 2x ? Welche Regel gilt hier ?

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Es wird nach a differenziert, nicht nach x. Für diese partielle Differentiation nach a wird x^2 wie eine Konstante behandelt.