Wie genau leite ich den Bruch -1/xy nach x ab?

Question

Aufgabe: f'_x(x,y) = -27x³ -$\frac{1}{xy}$ *1

Problem/Ansatz: Hallo, ich brauche Hilfe bei einer Funktion und ihrer zweiten partiellen Ableitung nach xx und xy. Wie genau leite ich den Bruch -1/xy nach x ab?

Answer 1

[-$\frac{1}{xy}$] nach x abgeleitet:   -$\frac{0*xy-1*y}{x^2*y^2}$=$\frac{1}{x^2y}$

Comments

Laut der Lösung sollte $\frac{1}{x²}$ rauskommen

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Lösungen sind nicht selten falsch.

Answer 2

Aloha :)

Bei der partiellen Ableitung behandelst du alle Variablen wie konstante Zahlen, bis auf die eine Variable, nach der du ableitest.

Bei der partiellen Ableitung nach $x$ ist $y$ also eine Konstante:$$\frac{\partial}{\partial x}\left(-27x^3-\frac{1}{xy}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(-27x^3\right)-\underbrace{\frac1y}_{=\text{const}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{x}\right)=-81x^2-\frac{1}{y}\cdot\left(-\frac1{x^2}\right)$$$$\qquad=-81x^2+\frac{1}{x^2y}$$

Bei der partiellen Ableitung nach $y$ ist $x$ eine Konstante:$$\frac{\partial}{\partial y}\left(-27x^3-\frac{1}{xy}\right)=\frac{\partial}{\partial y}\underbrace{\left(-27x^3\right)}_{=\text{const}}-\frac1x\cdot\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{y}\right)=0-\frac{1}{x}\cdot\left(-\frac1{y^2}\right)=\frac{1}{xy^2}$$

Answer 3

[1/(xy)]' = [1/y * x^-1]' = 1/y * (-1) * x^-2 = -1/(x²y)