Aufgabe 46 (Präsenzübungen):
Im \( \mathbb{R}^{3} \) ist die Fläche
\( S:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} | x^{2}+y^{2}+z-4=0, z \geq 0\right\} \)
gegeben.
(a) Skizzieren Sie die Fläche \( S \).
(b) Bestimmen Sie das Volumen des durch \( S \) und die Ebene \( \{z=0\} \) eingeschlossenen Körpers \( K \)
(c) Für das Vektorfeld \( F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) gegeben durch
$$ F(x, y, z):=\left(x z \sin (y z)+x^{3}, \cos (y z), 3 z y^{2}-e^{x^{2}+y^{2}}\right) $$
Bestimmen Sie den Ausfluss \( A(F, \partial K) \) von \( F \) durch \( \partial K \)
Ansatz:
Ich versuche gerade das Volumen auf zwei verschiedene Arten zu berechnen. Aber bei einer komme ich nicht auf das Ergebnis. Und zwar is das ganze ja ein Paraboloid. Deswegen setze ich
\( 0 \leq r \leq \sqrt{4-z} ; 0 \leq \varphi \leq 2 \pi ; 0 \leq z \leq 4 \)
wenn ich das ausrechne komme ich auf -16pi. Die Lösung sollte aber 8pi betragen. Wo ist der Fehler?
