Berechne das Volumen des Bereichs D begrenzt von dem Paraboloid z=4-x²-y² und der xy-Ebene

Question

Wie berechnet man diese Integral? xy ist naturlich z = 0, was sind aber die Integrationsgrenze?

Answer 1

Hallo

 am besten in Zylinderkoordinaten, x^2+y^2=r^2, und r geht von 0 bis √(4-z) ,\phi von 0 bis 2pi und z von 0 bis 4

sonst malt man sich sowas auf, oder einen Schnit bei x=0 oder y=0, und bestimmt so die Grenzen in x,y,z

Gruß lul

Comments

danke! :) wie kommt man auf die jakobi determinant? ich glaube ich mache da was falsches da die losung 8pi sein sollte..

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und noch eine Frage. Darf ich einfach z=4-r^2 einsetzten, dann komme ich auf r = 2 bei z = 0 und phi = 0 bis pi/2?

Dann wird es phi von 0 bis pi/2 r von 0 bis 2 und z von 0 bis 4-r^2 dzdrdphi

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Hallo

ob du r(z) oder z(r) einsetzt kommt auf die Reihenfolge der Integration an. dass r=2 für z=0 ist richtig, aber wo willst du das benutzen?

phi dagegen muss doch in jedr Höhe durch den ganzen Kreis laufen, also von 0 bis 2pi

das Flächenelement in Zylinderkoordinaten ist dA=r*\dphi*dz, die Jakobimatrix sieh in wiki Zylinderkoordinaten nach,

gruß lul

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so wollte ich es machen, also z(r) verwenden d.h zuerst nach dz integrieren mit deise Grenze, und da meine bereich durch die xy ebene begrenzt wird (z=0) habe ich z = 0 in z(r) eingesetzt und komme ich auf r = 2, daher r geht von 0 bis 2. Ist das auch eine richtige Lösung?

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So habe ich es gemacht

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also phi muss ich immer als letzte von 0 bis 2*pi integrieren und dann wenn ich z(r) wahle dann integriere ich zuerst nach z und dann nach r?