ist eine " Oma " ; könntest du auch im Abi duch nehmen. Es handelt sich um einen Drehkörper. Ihr seht; auch ich kann Deutsch sprechen; ich sage nicht Rotations-sondern Drehkörper. Der untere Teil ist der Kegel
z = r ( 1a )
der obere das Drehparaboloid
z = 1 - r ² ( 1b )
Der Kegel steht quasi auf der Spitze; für z = 0 hast du r = 0 Und bei r = 0 erreicht dann das ( nach Unten offene ) Paraboloid seune Gipfelhöhe mit z = 1 Du kannst ja mal als Übungsbeispiel das Extremwertproblem durchrechnen mit Gradient und Hessematrix. Für uns ist wichtig, wo sich die beiden Figuren ( 1ab ) durchdringen.
r = 1 - r ² ( 2a )
r ² + r - 1 = 0 ( 2b )
( 2b ) ist die definierende Gleichung des goldenen Schnitts ( Gibt es auch einen goldenen Blick und einen silbernen Schnitt? ) ( ===> " Reden ist Schweigen; Silber ist Gold " )
( Dieser Kegel ist der ===> Lichtkegel von ===> Lady Bright , aus dem unaufmerksame Studenten hinaus geworfen werden. Und dann ergreifen sie ===> raumartig die Flucht oder verlassen fluchtartig den Raum. )
Mit der cartesischen Vorzeichenregel ergeben sich sofort zwei Vorzeichen; allein die positive Lösung ist physikalisch. Mitternachtsformel
r0 = 1/2 [ sqr ( 5 ) - 1 ] ( 3 )
Was musst du dir überlegen? r0 < 1 - aber ohne Taschenrechner ...
Das Ganze ist doch nix weiter als ein Eistütchen ( " Ernie's icecream cone " ) Da sagt der ===> Beutelspacher wieder in seiner Vorlesung, Eistütchen werden nach dem goldenen Schnitt gefertigt. Für den Kegel findest du aus ( 1a;3 )
V ( Keg ) = Pi/3 r0 ³ ( 4a )
r0 ³ = 1/8 [ 5 sqr ( 5 ) - 3 * 5 + 3 sqr ( 5 ) - 1 ] = ( 4b )
= sqr ( 5 ) - 2 ( 4c )
Für das Paraboloid hast du
V ( Par ) = Pi [ z = r0 ; 1 ] $ r ² dz = ( 5a )
= - 2 Pi [ r = r0 ; 0 ] $ r ³ dr = ( 5b )
= 2 Pi [ r = 0 ; r0 ] $ r ³ dr ( 5c )
wobei in ( 5b ) substituiert wurde ( 1b )
z = 1 - r ² ===> dz = - 2 r dr ( 6a )
( 5c ) ===> V ( Par ) = Pi/2 r0 ^ 4 ( 6b )
r0 ^ 4 = 1/16 [ 5 ² - 4 * 5 sqr ( 5 ) + 6 * 5 - 4 sqr ( 5 ) + 1 ] = ( 7a )
= 1/2 [ 7 - 3 sqr ( 5 ) ] ( 7b )
