Paraboloid Volumsintegral

Question

Ich habe ein Problem mit dieser Rechnung. Der Innenraum eines Trinkglases hat dir Form eines Paraboloids ( r=3 cm und h=12cm) Wieviel Flüssigkeit fasst das Glas? In welcher Höhe muss die Markierung für 1/8 l angebracht werden? Ermittle die Gleichung der Parabel y=ax^2+b Also ich habe eine Skizze vor mir mit h=12 und r=3 Ich hab y=a*x^2 von 12=a*3^2 zu y=4/3x^2 umgemodelt. Okay, dann brachte ich alles auf y, um x^2 auszudrücken. Jetzt weiß ich nicht so recht weiter. Soll ich jetzt integrieren? Help!.

Answer 1

Hallo Bertel,
y=4/3x²

Umkehrfunktion bilden
x = 4/3 * y^2
y^2 = 3 / 4 * x
y = √ ( 3/4 * x )
f ( x ) = √ ( 3/4 * x )

Diese Kurve rotiert um die x-Achse:
Der Funktionswert f ( x ) ist der Radius eines entstehenden Kreises.
A ( x ) = π * r^2
A ( x ) = π * [ f ( x ) ]^2
A ( x ) = π *  [ √ ( 3/4 * x ) ]^2
A ( x ) = π *  3/4 * x
Stammfunktion bilden
S ( x ) = ∫ A ( x )  dx
S ( x ) = ∫ π *  3/4 * x dx
S ( x ) = 3/4 * π *  ∫ x dx
S ( x ) = π *  3/4 * x^2 / 2
S ( x ) = π *  3/8 * x^2
Nun das Volumen zwischen 0 und h
V ( x ) = [ π *  3/8 * x^2 ]₀ ¹²
V ( x ) = 3/8 * π * 12^2
V ( x ) = 169.65 cm^3
Höhe für 1/8 l = 125 cm^3
125 = [ π *  3/8 * x^2 ]₀ ^a
125 = π *  3/8 * a^2
a = 10.3 cm

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mfg Georg