Aufgabe:
Untersuchen Sie die folgende Reihen auf konvergenz und absolute Konvergenz.
Text erkannt:
(b) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{2^{k} k !}{k^{k}} \)
Wir bemuhen das Quotientenkriterium und sehen.
\( \begin{aligned} \left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| &=\frac{\frac{2^{k+1}(k+1) !}{(k+1)^{k+1}}}{\frac{2^{k} k !}{k^{k}}}=\frac{2^{k+1}(k+1) !}{(k+1)^{k+1}} \cdot \frac{k^{k}}{\left(k+2^{k} k !\right.} \\ &=2 \cdot(k+1) \cdot \frac{k^{k}}{(k+1)^{k+1}}-2 \frac{k}{(k+1)^{k}}=2\left(\frac{k}{k+1}\right)^{k} \\ &=2\left(\left(\frac{k+1}{k}\right)^{k}\right)^{-1}=2\left(\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k}\right)^{-1} \frac{k \rightarrow \infty}{\frac{2}{e}<1} \end{aligned} \)
da nach Hinweis \( \left(1+\frac{1}{k}\right)^{k} \stackrel{k \rightarrow \infty}{\longrightarrow} \) gitt.
Also folgt mit dem Quotientenksiterium die absolute
Problem/Ansatz:
Ich habe schon die Lösung aber ich verstehe eine Sache nicht. Woher kommt 2.(k+1) und so weiter. Ab 2.(k+1) hab ich nicht verstabden, wie man weiter geht :/
Ich werde sehr dankbar, wenn Sie mir weiter helfen können.
