Nicht absolute Konvergenz mit Umordung

Question

Aufgabe:

In der Vorlesung haben wir gesehen, dass eine Reihe \(\sum_{n \geq 1} a_n\) genau dann absolut konvergiert, wenn jede Umordnung \(\sum_{m \geq 1} a_{\varphi(m)}\) konvergiert. Daher muss es also für eine konvergente Reihe, welche nicht absolut konvergent ist, eine Umordnung geben welche nicht konvergiert. Finden Sie ein solches Beispiel.

Ansatz:

Ein Beispiel, was ich gefunden habe ist \(\sum_{n \geq 1} (-1)^{n+1} \frac{1}{n}\). Dass diese konvergent ist, habe ich auch schon mit dem Leibniz-Kriterium gezeigt. Wie aber mache ich das mit der Umordnung genau, um die nicht absolute Konvergenz zu zeigen?

Answer 1

Wir schaune uns erstmal nur die negativen Summanden an, die sind von der Form \(-\frac{1}{2k}\) für \(k\in\mathbb{N}_1\). Schönerweise kannst du sie auch schreiben: \(-\frac{1}{2}\frac{1}{k}\).

Jetzt kannst du einen Rückverweis starten zu vergangenen Kapiteln der Vorlesung, nämlich der Divergenz der harmonischen Reihe, in der du die Summanden dieser Reihe in Blöcke der Größe mindestens \(\frac{1}{2}\) gruppierst. Mit genau dieser Gruppierung bekommst du hier Blöcke der Größe \(-\frac{1}{4}\) oder noch negativer. Diese Blöcke von Summanden nennen wir \(b_1,b_2,\ldots\).

Deine Reihe ordnest du jetzt um zu: \(1+b_1+\frac{1}{3}+b_2+\frac{1}{5}+b_3+\frac{1}{7}+\ldots\), also immer ein positiver Summand gefolgt von einem negativen Block mit Wert höchstens \(-\frac{1}{4}\) etc. Diese Reihe ist eine echte Umordnung deiner Ausgangsreihe und sie divergiert klar gegen \(-\infty\).

Comments

Vielen vielen Dank für diese ausführliche Antwort. Jetzt habe ich es verstanden!!