Aufgabe:
Gegeben seien die drei Vektoren
\( \vec{a}= \begin{pmatrix} 1\\-1\\2 \end{pmatrix} \) \(\vec{b}= \begin{pmatrix} -1\\1\\-1 \end{pmatrix} \) \(\vec{c}= \begin{pmatrix} 2\\-1\\1 \end{pmatrix} \)
Berechnen Sie den Winkel zwischen den Ebenen, die durch a und b bzw. durch b und c aufgespannt werden.
Hinweis: Das ist derselbe Winkel wie der zwischen den Normalenvektoren der Ebenen; das sind die Vektoren, die auf den jeweiligen Ebenen senkrecht stehen.
Problem/Ansatz:
Aus a und b allein kann ich keine Ebene spannen, deswegen verstehe ich nicht wie die Aufgabe gemeint ist. Soll ich die Ebene aus a,b und c spannen und dann den Winkel von AB und BC berechnen? Habe gesehen, dass jemand einer Forum geantwortet hat, dass man dann den Vektor \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \) als ortvektor nimmt und a und b als Richtungsvektoren das würde dann so aussehen. \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \) + r * \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\2 \end{pmatrix} \) + s * \( \begin{pmatrix} -1\\1\\-1 \end{pmatrix} \)
und \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \) + r * \( \begin{pmatrix} -1\\1\\-1 \end{pmatrix} \) + s * \( \begin{pmatrix} 2\\-1\\1 \end{pmatrix} \)
Dann durch den Tipp würde ich erstmal die Normalvektoren ausrechnen also das wäre dann = \( \begin{pmatrix} -1\\-1\\0 \end{pmatrix} \) für ab und \( \begin{pmatrix} 0\\-1\\-1 \end{pmatrix} \) für bc
Dann den Winkel zwischen ab und bc also die cos Formel.
Wäre der Ansatz soweit richtig?