Verständnis zu Winkel-Berechnung zwischen Ebenen

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die drei Vektoren

\( \vec{a}= \begin{pmatrix} 1\\-1\\2 \end{pmatrix} \)   \(\vec{b}= \begin{pmatrix} -1\\1\\-1 \end{pmatrix} \)    \(\vec{c}= \begin{pmatrix} 2\\-1\\1 \end{pmatrix} \)

Berechnen Sie den Winkel zwischen den Ebenen, die durch a und b bzw. durch b und c aufgespannt werden.
Hinweis: Das ist derselbe Winkel wie der zwischen den Normalenvektoren der Ebenen; das sind die Vektoren, die auf den jeweiligen Ebenen senkrecht stehen.

Problem/Ansatz:

Aus a und b allein kann ich keine Ebene spannen, deswegen verstehe ich nicht wie die Aufgabe gemeint ist. Soll ich die Ebene aus a,b und c spannen und dann den Winkel von AB und BC berechnen? Habe gesehen, dass jemand einer Forum geantwortet hat, dass man dann den Vektor \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \) als ortvektor nimmt und a und b als Richtungsvektoren das würde dann so aussehen. \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \) + r * \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\2 \end{pmatrix} \) + s * \( \begin{pmatrix} -1\\1\\-1 \end{pmatrix} \)
und \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \) + r * \( \begin{pmatrix} -1\\1\\-1 \end{pmatrix} \) + s * \( \begin{pmatrix} 2\\-1\\1 \end{pmatrix} \)

Dann durch den Tipp würde ich erstmal die Normalvektoren ausrechnen also das wäre dann = \( \begin{pmatrix} -1\\-1\\0 \end{pmatrix} \) für ab und \( \begin{pmatrix} 0\\-1\\-1 \end{pmatrix} \) für bc

Dann den Winkel zwischen ab und bc also die cos Formel.

Wäre der Ansatz soweit richtig?

Answer 1

Aloha :)

Wenn nichts anderes gesagt wird, werden Vektoren am Ursprung des Koordinatensystems befestigt. Daher liegt der Nullpunkt in beiden Ebenen. Deine Überlegung ist also korrekt.

In der ersten Ebene liegen die Punkte \((0|0|0),(1|-1|-2)\) und \((-1|1|-1)\). Alle 3 Punkte erfüllen die Koordinatengleichung \(\;x+y=0\;\). Daher ist ein Normalenvektor der ersten Ebnene:$$\vec n_1=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$$In der zweiten Ebene liegen die Punkte \((0|0|0),(-1|1|-1)\) und \((2|-1|1)\). Alle 3 Punkte erfüllen die Koordinatengleichung \(\;y+z=0\;\). Daher ist ein Normalenvektor der zweiten Ebnene:$$\vec n_2=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$$Die Minuszeichen bei dir sind ok, weil natürlich ein an der Ebene gespiegelter Normalenvektor ebenfalls senkrecht auf der Ebene steht.

Der Winkel \(\alpha\) zwischen den beiden Ebenen ist nun:$$\cos\alpha=\frac{\vec n_1\cdot\vec n_2}{\|\vec n_1\|\cdot\|\vec n_2\|}=\frac{0+1+0}{\sqrt2\cdot\sqrt2}=\frac12\implies\alpha=60^\circ$$

Answer 2

Ja, das ist alles soweit richtig. Ich würde die Zahlen bei den Normalenvektoren mit positivem Vorzeichen schreiben. Das ist weniger fehleranfällig.

Und wenn man nur zwei Vektoren hat, dann können sie - sofern nicht kollinear - selbstverständlich eine Ebene aufspannen. Der Ortsvektor ist dann der Nullvektor.