\( \int \limits_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos (\omega x)}{x^{2}-2 x+2} d x \quad \) Verwende \( f(z)=\frac{e^{i \omega z}}{z^{2}-2 z+2} \) für den Integranden
Das hier wäre der erste Schritt:
Wir wählen als geschlossenen Integationsweg \( \gamma \) einen Halbreis R>0 in der Halbebene Im \( \geq 0 \)
Pole: \( z_{1,2}=\frac{2 \pm \sqrt{4-8}}{2}=\frac{2 \pm 2 i}{2} \longrightarrow z_{1}=1+i \) (innerhalb), \( z_{2}=1-i \) (außerhalb)
mögliches Endergebnis:
\( \operatorname{Res}\left(f_{,} z_{1}\right)=\frac{e^{-w} e^{i \omega}}{2 i} \)
\(\left.\int \limits_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i \omega z}}{z^{2}-2 z+2} d z=2 \pi i \operatorname{Res}\left(f, z_{1}\right)=Re^{} \{\pi e^{-\omega} e^{i \omega}\right\}\}=\pi e^{-\omega} \cos \omega^{} \)
Kann mir jemand auf die Sprünge helfen, wie man hier vorzugehen hat?
