Integralberechnung Residuensatz

Question

Kann mir jemand bestätigen ob ich folgendes Integral mit Hilfe des Residuensatzes richtig berechnet habe?

Integral von 0 bis unendlich:∫(x^2+8063)/(x^4+2x^2+1) dx =pi!

Habe 2 mal de l'Hospital genutzt und als Polstelle i angenommen!

Danke schon mal für die Hilfe!

Answer 1

dein Ergebnis stimmt leider nicht (oder du hast die Aufgabe fehlerhaft abgeschrieben)

(x^2+8063)/(x^4+2x^2+1)=(x^2+8063)/((x+i)^2*(x-i)^2)

∫(x^2+8063)/(x+i)^2*(x-i)^2 dx =2*π*i* Res_i (x^2+8063)/(x+i)^2*(x-i)^2

da i doppelte Polstelle, gilt  Res_i (x^2+8063)/(x+i)^2*(x-i)^2= lim x--> i d/dx[(x-i)^2* (x^2+8063)/(x+i)^2*(x-i)^2]

=lim x--> i d/dx[(x^2+8063)/(x+i)^2]=lim x--> i 2i*(x+8063i)/(x+i)^3=2i*8064*i/(2i)^3

=2016/i=-2016*i

Also

∫(x^2+8063)/(x+i)^2*(x-i)^2 dx=2*π*i*(-)*2016*i=4032*π

das ist das Integral über alle reelle Zahlen.

Wegen der Symmetrie folgt für das Integral von 0 bis Unendlich =2016π

Comments

Ok danke fürs nachrechnen. Hab beim ableiten einen Schlampigkeits Fehler gemacht.

Kannst du mir eventuell gleich nochmal helfen? Ich möchte sin(x)^2 zur Übung auch mit Hilfe des Residuensatzes berechnen aber komme auf ein falsches Ergebnis. Als Integrationsgrenzen habe ich 0, 2pi genommen. Ich komme auf pi/2 dabei sagt der Online Integralrechner das Ergebnis müsste pi sein.

Danke auf alle Fälle für die Hilfe!