Integralberechnung mit Sinusfunktion

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die folgenden Integrale:

\(\displaystyle \int\left(-4 x \cos \left(x^{2}\right)\right) \mathrm{d} x= -2 \sin \left(x^{2}\right) \)

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht ganz wie man auf diese Lösung kommt. Wird die partielle Integration/Substitution angewandt?

LG

Answer 1

Aloha :)

Bei der Integration mittels Substitution ist es immer gut, wenn die Ableitung von dem, was du substituieren möchtest, als Faktor im Integranden auftaucht:

$$I=\int-4x\cos(x^2)\,dx=-2\int\pink{2x}\cdot\cos(\pink{x^2})\,dx$$

Hier drängt sich also die Subsitution \(u\coloneqq \pink{x^2}\) auf, denn die Ableitung \(\frac{du}{dx}=\pink{2x}\) taucht als Faktor im Integranden auf. Dann ist nämlich \(du=2x\,dx\) und das Integral geht über in:$$I=-2\int\cos(\underbrace{x^2}_{=u})\;\underbrace{2x\,dx}_{=du}=-2\int\cos(u)\,du=-2\sin(u)+C=-2\sin(x^2)+C$$

Answer 2

Die Ableitung von cos(x^2) = - 2x*sin(x^2)

Damit kommt man schnell auf: F(x)= -2*sin(x^2) +C

Man braucht hier nicht viel rumrechnen. Man kann F(x) sehen.