Aloha :)
zu i) Aus der Ableitung von \(\tan x\):$$\left(\tan x\right)'=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)'=\frac{\cos x\cos x-\sin x(-\sin x)}{\cos^2x}=1+\tan^2x$$folgt die Ableitung der Umkehrfunktion \(\arctan x\) durch folgende Überlegung. Die Wirkung einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion auf ein Argument \(x\) kompensieren sich gegenseitig:$$\tan(\arctan x)=x$$Weil das für alle \(x\)-Werte im Definitionsbereich gilt, müssen auch die Ableitungen links und rechts vom Gleichheitszeichen gleich sein. Die Ableitung der rechten Seite ist gleich \(1\), die Ableitung der linken Seite finden wir mit der Kettenregel:$$\underbrace{\left(1+\tan^2(\arctan x)\right)}_{=\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{\arctan'(x)}_{\text{innere Abl.}}=1\quad\implies\quad(1+x^2)\cdot\arctan'(x)=1\quad\implies$$$$\arctan'(x)=\frac{1}{1+x^2}$$
zu ii) Zur Anwendung der Substitutionsregel, müssen wir den Nenner der Integranden irgendwie auf die Form \((1+u^2)\) bringen:$$x^2+2x+5=(x^2+2x+1)+4=(x+1)^2+4=4\left(\left(\frac{x+1}{2}\right)^2+1\right)$$Daher bietet sich folgende Substitution an:$$u(x)\coloneqq\frac{x+1}{2}\;;\;u(1)=1\;;\;u(\infty)=\infty\;;\;\frac{du}{dx}=\frac12\;\text{bzw.}\;dx=2\,du$$und das Integral wird zu:$$I=\int\limits_1^\infty\frac{dx}{x^2+2x+5}=\int\limits_1^\infty\frac{dx}{4\left(\left(\frac{x+1}{2}\right)^2+1\right)}=\int\limits_1^\infty\frac{2\,du}{4\left(u^2+1\right)}=\frac12\left[\arctan(u)\right]_1^\infty$$$$\phantom{I}=\frac12(\arctan(\infty)-\arctan(1))=\frac12\left(\frac\pi2-\frac\pi4\right)=\frac\pi8$$
zu iii) in (ii) haben wir ausgenutzt, dass$$\tan\frac\pi4=\frac{\sin\frac\pi4}{\cos\frac\pi4}=\frac{\sqrt{1/2}}{\sqrt{1/2}}=1\quad;\quad\tan\frac\pi2=\frac{\sin\frac\pi2}{\cos\frac\pi2}\to\frac10\to\infty$$
