Berechne das Integral durch Substitution

Question

Aufgabe:

Berechne \( \int\limits_{}^{} \frac{ln(2x)*ln(4x)}{8x}\) dx durch Substitution.

Ich komm hier auf keinen grünen Zweig und bräuchte bitte etwas Hilfe.

Comments

Partiell integrieren

Hier mir Lösungsweg:

https://www.integralrechner.de/

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ja aber in der aufgabe steht durch substitution... da kann ich schlecht partiell integrieren :D

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Im Lösungsweg wird substituiert.

Schau ihn dir an.

Answer 1

\( \int\limits_{}^{} \frac{ln(2x)\cdot ln(4x)}{8x} dx\)

\( =\int\limits_{}^{} \frac{ln(2x) \cdot ln(2\cdot 2x)}{8x} dx\)

\( =\int\limits_{}^{} \frac{ln(2x) \cdot (ln(2) +ln( 2x))}{8x} dx\)

\( =\int\limits_{}^{} \frac{ln(2)\cdot ln(2x) +ln^2 (2x) }{8x} dx\)

mit u=ln(2x) hast du \(  \frac{du}{dx}=u ' = \frac {1}{x}  \)

Also \( du = \frac {1}{x} \cdot dx\)  ==>

\( \int\limits_{}^{} \frac{ln(2)\cdot ln(2x) +ln^2 (2x) }{8} \cdot \frac {1}{x} dx\)

\( =\int\limits_{}^{} \frac{ln(2)\cdot u+u^2  }{8}  du\)

\(=\int\limits_{}^{} \frac{ln(2)}{8} u du +\int\limits_{}^{} \frac{1 }{8} u^2  du\)

Das dürfte klappen.

Answer 2

Aloha :)

Wegen \(\ln(4x)=\ln(2x\cdot2)=\ln(2x)+\ln(2)\) können wir das Integral umschreiben:

$$I=\int\frac{\ln(2x)\cdot\ln(4x)}{8x}\,dx=\int\frac{\ln^2(2x)+\ln(2)\cdot\ln(2x)}{8x}\,dx$$

Wir substituieren wie folgt:$$u\coloneqq\ln(2x)\implies\frac{du}{dx}=\frac{1}{2x}\cdot2=\frac1x\implies dx=x\,du$$und erhalten ein stark vereinfachtes Integral:$$I=\int\frac{u^2+\ln(2)\cdot u}{8x}\,\underbrace{x\,du}_{=dx}=\frac18\int\left(u^2+\ln(2)\cdot u\right)du=\frac18\left(\frac{u^3}{3}+\frac{\ln(2)}{2}u^2\right)+C$$

Wir substituieren zurück und erhalten:$$I=\frac18\left(\frac{\ln^3(2x)}{3}+\frac{\ln(2)}{2}\ln^2(2x)\right)+C=\frac{\ln^2(2x)}{48}(2\ln(2x)+3\ln(2))+C$$$$\phantom I=\frac{\ln^2(2x)}{48}(\ln(4x^2)+\ln(8))+C=\frac{\ln^2(2x)\ln(32x^2)}{48}+C$$