Residuensatz für Integralberechnung

Question

Aufgabe:

(a) Es seien $g, h: \Omega \rightarrow \mathbb{C}$ holomorph $(\Omega \subset \mathbb{C}$ ein Bereich $), z_{0} \in \Omega$ eine einfache Nullstelle von $h, g\left(z_{0}\right) \neq 0$ und $f=\frac{g}{h} .$ Zeigen Sie, dass
$\operatorname{res}_{z 0} f=\frac{g\left(z_{0}\right)}{h^{\prime}\left(z_{0}\right)}$
(b) Berechnen Sie für $a>1$ das Integral
$\int \limits_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{\alpha}}$
durch Anwenden des Residuensatzes auf die Funktion $z \mapsto \frac{1}{1+z^{\alpha}}$ (welcher Definitionsbereich?) und den Weg $\gamma_{r, R}$ aus dem Bild (plus Limiten $R \rightarrow \infty, r \rightarrow 0$ ).

Ich vermute, weil α reell ist, ergibt sich $z^{\alpha}=r^{\alpha} e^{i \alpha \varphi}$ für $z=r e^{i \varphi} \in \mathbb{C}_{\varphi 0}$ mit geeignetem $\varphi_{0} \in \mathbb{R}$ und $\varphi_{0}<\varphi<\varphi_{0}+2 \pi$

Wisst ihr wie man ab da diese Integrale löst? Ich komme hier gar nicht weiter

Text erkannt:

$\operatorname{Re}^{\frac{2 \pi i}{\alpha}}\{\prod \limits_{k}^{\gamma} \underbrace{\gamma x_{i} R}$