Lineares Gleichungssystem lösen?

Question

I: 2x-3y-2xλ=0

II: -3x-6yλ=0

Kann mir jemand dabei helfen, diese Gleichung zu lösen?

Comments

Also zumindestens, welchen Wert man für x und y erhält

Answer 1

Ich hätte nämlich lambda zuerst versucht zu entfernen, was aber die Aufgabe dadurch komplexer machen würde

Wenn es Ziel ist x und y in Abhängigkeit von Lambda zu bestimmen wäre es am schlechtesten als erstes Lambda zu eliminieren.

Also Lambda sollte dann erhalten bleiben. Löse die 2. Gleichung also z.B. nach x auf und setze das in die erste Gleichung ein,

- 3·x - 6·y·λ = 0 --> x = - 2·λ·y

2·(- 2·λ·y) - 3·y - 2·(- 2·λ·y)·λ = 0

Das lösen wir jetzt nach y auf.

2·(- 2·λ·y) - 3·y - 2·(- 2·λ·y)·λ = 0

4·λ^2·y - 4·λ·y - 3·y = 0

4·y·(λ + 1/2)·(λ - 3/2) = 0

Damit finden wir die Lösungen: y = 0 ∨ λ = 3/2 ∨ λ = - 1/2

Der Rest ist dann nur noch Formsache.

Answer 2

x(2-2λ)-3y=0

x+2yλ=0

Multipliziere die erste Gleichung mit 2λ und die zweite mit 3. Addiere dann beide Gleichungen.

Comments

Danke! Aber, wie gehst du bei solchen Gleichungen vor?

Ich hätte nämlich lambda zuerst versucht zu entfernen, was aber die Aufgabe dadurch komplexer machen würde

Answer 3

Ich hätte nämlich lambda zuerst versucht zu entfernen, was aber die Aufgabe dadurch komplexer machen würde

Auch das geht. Man kann beide Gleichungen nach λ umformen und die erhaltenen Terme gleichsetzen:

\( 1-\frac{3y}{2x}=-\frac{x}{2y} \)

Multiplikation mit 2xy ist eine Äquivalenzumformung, falls weder x noch y gleich 0 sind. Man erhält dann 2xy-3y²=-x² oder

x²+2xy-3y²=0

Löst man nach x auf, erhält man \(x_{1,2}=-y\pm \sqrt{y^2-(-3y^2)}=-y\pm 2y\).

Damit ist es möglich, x wahlweise durch y oder durch -3y zu ersetzen und damit entweder Gleichung I oder Gleichung II nach λ aufzulösen.

Vergessen darf man nicht den Fall x=0, der auch y=0 nach sich zieht.

Entsprechend zieht y=0 auch x=0 nach sich.