Integration Musterlösung gegeben

Question

Guten Tag,

ich habe leider Probleme dabei diese Integration zu lösen.

\( \int \limits_{0}^{B} \int \limits_{0}^{H} \rho_{\mathrm{W}} g \cdot\left(H+h_{1}-z\right) d z d x=F \)

Die Musterlösung lautet :

\( \rho_{\mathrm{W}} g B \cdot\left(\left(H+h_{1}\right) \cdot H-\frac{1}{2} H^{2}\right)=F \)

Ich verzweifle schon seit 3 Stunden an dieser Integration und würde mich über Hilfe freuen.

LG

Answer 1

Aloha :)

$$F=\int\limits_{x=0}^B\;\int\limits_{z=0}^H\rho_Wg\cdot(H+h_1-z)\,dx\,dz$$

Die konstanten Faktoren \(\rho_Wg\) kannst du vor die Integrale ziehen. Weiter fällt auf, dass in dem Integranden überhaupt kein \(x\) auftaucht, sodass du das Intergral über \(dx\) separieren kannst:$$F=\rho_Wg\cdot\int\limits_{x=0}^Bdx\cdot\int\limits_{z=0}^H(H+h_1-z)\,dz$$$$\phantom F=\rho_Wg\cdot\left[x\right]_{x=0}^B\cdot\left[Hz+h_1z-\frac{z^2}{2}\right]_{z=0}^H$$$$\phantom F=\rho_Wg\cdot B\cdot\left(H^2+h_1H-\frac{H^2}{2}\right)$$

Das kannst du nun in die Musterlösung umformen:$$F=\rho_Wg\cdot B\cdot\left((H+h_1)\cdot H-\frac{H^2}{2}\right)$$

Oder es vernünftig zu Ende rechnen:$$F=\rho_Wg\cdot B\cdot\left(\frac{H^2}{2}+h_1H\right)=\rho_WgBH\left(\frac{H}{2}+h_1\right)$$

Answer 2

Das äusserte Integral hängt von x ab, das kommt aber nicht vor.

Also nur alles mal B

Also brauchst du nur das innere : Aus dem z wird 0,5 z HOCH 2

Comments

Ich weiß leider nicht, wie ich das z entfernen kann. In der Musterlösung ist das z nicht mehr da.

Text erkannt:

\( \begin{aligned} & \int \limits_{0}^{B} \int \limits_{0}^{H} \rho \cdot g \cdot\left(H+h_{1}-z\right) d z d x=F \\ \Leftrightarrow & \int \limits_{0}^{B} \rho \cdot g \cdot\left(1++h_{1}-z\right)^{2} \cdot\left(-\frac{1}{1}\right)=F \\ \Leftrightarrow & \int \limits_{0}^{B}-\rho \cdot g \cdot\left(H+h_{1}-z^{2}\right)=F \\ \Leftrightarrow &-\rho \cdot g \cdot B \cdot\left(H+h_{1}-z^{2}\right)=F \end{aligned} \)

Edit.: Am Ende soll das ^2 außerhalb der Klammer sein und nicht beim z.