1. Ableitung mit Differenzenquotient

Question

Aufgabe:

Hallöchen,

bräuchte Hilfe bei einer Aufgabe, da Blockade.

Es soll mithilfe des Differenzenquotienten die 1. Ableitung von folgender Funktion hergeleitet werden:

f(x)=1/x^(1/2)                              1 durch Wurzel von x

Problem/Ansatz:

Mit dem allgemeinen Differenzenquotienten der Produktregel konnte ich das DELTAx am Ende nicht rauskürzen und bin jetzt froh wenn ihr mir da weiterhelfen könntet....

LG

Comments

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Answer 1

Aloha :)

Schreibe \(\Delta x=x-x_0\) explizit aus:$$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\frac{f(x_0+(x-x_0))-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$Jetzt setzt du \(f(x)=\frac{1}{\sqrt x}\) ein:$$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{\frac{1}{\sqrt x}-\frac{1}{\sqrt{x_0}}}{x-x_0}=\frac{\frac{\sqrt{x_0}}{\sqrt{x}\cdot\sqrt{x_0}}-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x_0}\cdot\sqrt{x}}}{x-x_0}=\frac{\frac{\sqrt{x_0}-\sqrt{x}}{\sqrt x\cdot\sqrt{x_0}}}{(\sqrt{x}-\sqrt{x_0})\cdot(\sqrt{x}+\sqrt{x_0})}$$$$=\frac{-\frac{\pink{\sqrt{x}-\sqrt{x_0}}}{\sqrt x\cdot\sqrt{x_0}}}{\pink{(\sqrt{x}-\sqrt{x_0})}\cdot(\sqrt{x}+\sqrt{x_0})}=\frac{-\frac{1}{\sqrt x\cdot\sqrt{x_0}}}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}=-\frac{1}{\sqrt{x}\cdot\sqrt{x_0}\cdot(\sqrt x+\sqrt{x_0})}$$

Nun kannst du den Grenzwert \(\Delta x\to0\) bzw. \(x\to x_0\) bilden:$$f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\left(-\frac{1}{\sqrt{x}\cdot\sqrt{x_0}\cdot(\sqrt x+\sqrt{x_0})}\right)=-\frac{1}{\sqrt{x_0}\cdot\sqrt{x_0}\cdot(\sqrt{x_0}+\sqrt{x_0})}=-\frac{1}{2x_0\sqrt{x_0}}$$

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Danke für den tipp!