Bestimmen sie eine Basis der Ebene E: x_{1}-2x_{2}+3x_{3}=0 im R^3

Question

Aufgabe:

a) Bestimmen sie eine Basis der Ebene E: $$x_{1}-2x_{2}+3x_{3}=0$$ im R^3

b) Bestimmen sie außerdem ein Erzeugendensystem von E, das keine Basis ist.

Problem/Ansatz:

Ich bin mir ehrlich gesagt garnicht sicher, wie ich hier vorzugehen habe, bzw. was der beste Weg ist, um solche Aufgaben zu lösen.

Muss ich hier einfach nur 3 Vektoren aufstellen, in dem ich durch einsetzen in die Gleichung Punkte berechne und aus denen dann Vektoren?

Also zB würde ich folgende Punkte bekommen:

A(0,1/2,1/3), B(-1,0,1/3), C(1,1/2,0), D(1,1,1)

Daraus könnte ich ja folgende Vektoren berechnen:

$$AB=\begin{pmatrix} -1\\-\frac{1}{2}\\0 \end{pmatrix}$$, $$AC=\begin{pmatrix} 1\\0\\-\frac{1}{3} \end{pmatrix}$$, $$AD=\begin{pmatrix} -1\\-\frac{3}{2}\\\frac{2}{3} \end{pmatrix}$$

Wäre das ein gültiger Lösungsweg? Oder muss man/ kann man hier anders vorgehen, zB über den Normalenvektor, indem man 3 Vektoren sucht die orthogonal zu diesem sind und in der Ebene liegen?

Ich wäre dankbar für Hilfe

Answer 1

Aloha :)

Wir stellen die Ebenengleichung nach \(x_1\) um:$$x_1=2x_2-3x_3$$und schreiben alle Punkte \(\vec x\) der Ebene auf:$$\vec x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x_2-3x_3\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=x_2\pink{\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}}+x_3\pink{\begin{pmatrix}-3\\0\\1\end{pmatrix}}$$

Offenbar können wir alle Punkte der Ebene als Linearkombination der beiden pinken Vektoren darstellen. Sie bilden daher eine Basis von \(E\).

Um ein Erzeugendensystem anzugeben, das keine Basis ist, müssen wir einen weiteren Vektor ergänzen, der von den beiden Basisvektoren linear abhängt. Mein Vorschlag wäre die Summe der beiden Basisvektoren \(\pink{(-1;1;1)^T}\).

Comments

Vielen Dank :)

Answer 2

Hallo

wie du 2 linear unabhängige Vektoren in der Ebene findest, ist egal, 2 die senkrecht zur Normalen sind, oder 2 die du durch 3 nicht colineare Punkte findest. Als Basis brauchst du nur 2, der dritte muss dann ja linear abhängig sein, die 3 oder mehr bilden dann ein Erzeugendensystem.

(ob deine Vektoren richtig sind kannst du ja leicht mit der Normalen ausprobieren.)AD besteht bei mir den Test nicht!

Gruß lul

Comments

Der 3. muss linear unabhängig sein, weil es eine Fläche im Raum ist, für welche man nur 2 Vektoren braucht, um sie aufzuspannen?

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Hallo

ja, eine Ebene ist ein 2 d affiner Unterraum, ein 2d  Unterraum, wenn sie wie hier durch 0 geht. also nur 2 Basisvektoren

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Wenn sie nicht durch 0 gehen würde, dann gebe es evtl. 3 Basisvektoren? Oder kann man hier immer davon ausgehen?

Also kann ich hier sagen, ich habe nur 2 Basisvektoren, und für das EZS dann beide Basisvektoren noch addieren um einen lin. abhängigen zu bekommen?

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Hallo

ja, 2 Lin- unabhängig.  bilden eine Basis, irgend eine linearkombination der 2 kannst du als dritten nehmen, also auch die Summe oder Differenz.

lul

Answer 3

Siehe hier

https://www.mathelounge.de/409972/erzeugendensystem-der-ebene-e-das-keine-basis-der-ebene-ist