Reihenentwicklung für "umgekehrte" Binomische Formel

Question

Aufgabe:

Reihenentwicklung für "umgekehrte" Binomische Formel

Problem/Ansatz:

Ich möchte gern die Binomische Formel (z.B. für n=4) in eine "umgekehrte" Form bringen:

\( (x+1)^{4}=x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+4x+1 \)

Nach dem Ausklammern von \( x^{4} \) erhalte ich ein Produkt mit folgender Reihe:

\( (x+1)^{4}=x^{4}\cdot(\frac{1}{x^{0}}+\frac{4}{x^{1}}+\frac{6}{x^{2}}+\frac{4}{x^{3}}+\frac{1}{x^{4}}) \)

Im Zähler stehen jeweils die Binominalkoeffizienten, im Nenner die x Potenzen in "umgekehrter" Reihenfolge.

Wie bekomme ich daraus eine Reihendarstellung?
Ich würde danach gern den Grenzwert dieser Reihe für bestimmte Fälle berechen.

Comments

Was meinst du hier mit "Reihe"?

Gib mal ein Beispiel.

Answer 1

Meinst Du sowas?

$$ (x+1)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{n-k} = x^n \sum_{k=0}^n \frac{\binom{n}{k}}{x^k} $$

Im Nenner des Bruchs stehen die Binomialkoeffizienten und im Zähler die Potenzen von \( x \)

Das geht natürlich auch für den Ausdruck $$ (a+b)^n = a^n \left(  \frac{b}{a} + 1 \right)^n $$ falls \( a \ne 0 \) gilt. Ansonsten macht man die Umformung eben mit \( b \). Für \( a = b = 0\) gibt es dann nichts zu berechnen.

Comments

Hallo und vielen Dank für die Antwort.

Ich meinte das eher so:

\( (x+1)^{n}=\sum \limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k}=x^{n}\sum \limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k-n} \)

\( (x+1)^{n}=x^{n}\cdot(\frac{1}{x^{n}}+\binom{n}{1}\frac{1}{x^{n-1}}+\binom{n}{2}\frac{1}{x^{n-2}}+...+\binom{n}{n-1}\frac{1}{x} +1) \)

Also im Zähler stehen die Binominalkoeffizienten und im Nenner die Potenzen von x, nur in der "umgekehrten" Reihenfolge.

Ist das so korrekt geschrieben?

Vielleicht noch mal für n=5 ein Beispiel:

\( (x+1)^{5}=x^{5}\cdot(1+\frac{5}{x}+\frac{10}{x^{2}}+\frac{10}{x^{3}}+\frac{5}{x^{4}}+\frac{1}{x^{5}}) \)

Mich interessiert der Wert dieser Summe für ein bestimmtes n und x.

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Man kann $$ (x+1)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k $$ oder auch $$ (x+1)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{n-k} $$ schreiben. Das ist beidesmal das gleiche. Insofern stimmt das, was Du hingeschrieben hast. Ist aber auch identisch mit dem, was ich hin geschrieben habe. Die Binomialkoeffizienten sind ja symmetrisch.

Answer 2

Hallo

hier hast du eine endliche Summe, keine Reihe die Summe kannst du natürlich auch mit Summenzeichen schreiben, Da du den GW aus (x+1)^4 oder (x+^)^n schon kennst, warum ihn anders ausrechnen . oder was für einen GW meinst du? endliche Summen rechnet man einfach aus, da gibts keinen GW

Gruß lul