Welche Summe ergibt sich für..

Question

Aufgabe:

Welcher Summenwert ergibt sich für

\( \left(\begin{array}{l}n \\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n \\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n \\ 2\end{array}\right)+\ldots+\left(\begin{array}{c}n \\ n-1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n \\ n\end{array}\right) ? \)

Problem/Ansatz:

Ich habe hier ein Problem beim lösen der Aufgabe da ich nicht ganz verstehe wie ich da dran gehen soll.

Normalerweise rechnen wir ohne Unbekannte in den Klammern darum bin ich hier gerade ein wenig aufgeschmissen da ich anscheinend auch noch etwas ergänzen soll.

Könnte mit das bitte jemand erklären und vielleicht auch vormachen damit ich den rechenweg auch richtig nachvollziehen kann?

Comments

Wende auf (1 + 1)ⁿ den binomischen Lehrsatz an.

Answer 1

vgl:

https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient#Summen_mit_Binomialkoeffizienten

Es gibt einen wunderschönen Beweis für diese Aufgabe. Du kennst doch bestimmt den binomischen Lehrsatz, oder?
\( (a+b)^{n}=\sum \limits_{i=0}^{n}\left(\begin{array}{c}n \\ i\end{array}\right) a^{n-i} b^{i} \)
Finde darin geeignete Werte für a und b. Die Lösung ergibt sich dann von selbst \( = \) )

Sei \( n=4 \).

Dann ist \( 2^{4}=16 \)

sowie \( \left(\begin{array}{l}4 \\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}4 \\ 4\end{array}\right)=1 \)

\( \left(\begin{array}{l}4 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}4 \\ 3\end{array}\right)=4 \)

und \( \left(\begin{array}{l}4 \\ 2\end{array}\right)=\frac{3 * 4}{2}=6 \)

Also:

\( \left(\begin{array}{l}4 \\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}4 \\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}4 \\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}4 \\ 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}4 \\ 4\end{array}\right) \\ =1+4+6+4+1=16=2^{4} \)