Untersuchen Sie die eingegebene Folgen (an )n∈N auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die eingegebene Folgen (a_n )_n∈N auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

c) \( a_{n}=\left(\frac{q}{q+1}\right)^{n} \frac{n^{3}+4}{3+3 n^{3}} \) für \( q>0 \).

Könnem Sie mir bitte sagen, wie ich genau vorgehen kann? Welche Methode soll ich hier benutzen?

Answer 1

Es ist \(a_n=b_n\cdot c_n\) mit

\(b_n=(\frac{q}{q+1})^n\) und \(c_n=\frac{n^3+4}{3+3n^3}\).

Für \(q>0\) ist \(b_n\) eine Nullfolge und es ist \(\lim_{n \to \infty}c_n = 1/3\).

Also ist auch \(a_n\) konvergent mit \(\lim a_n = 0\cdot 1/3 = 0\).

Comments

Wie kommt man darauf, dass cn= 1/3 ist? Mit Quotientenkriterium?

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cn = (n^3 + 4)/(3 + 3·n^3)

cn = n^3·(1 + 4/n^3)/(n^3·(3/n^3 + 3))

cn = (1 + 4/n^3)/(3/n^3 + 3)

Wenn jetzt n gegen unendlich geht

lim (n → ∞) (1 + 4/n^3)/(3/n^3 + 3) = (1 + 0)/(0 + 3) = 1/3

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Erweitere den Bruch mit \(n^{-3}\):

\(c_n=\frac{1}{3}\cdot \frac{1+\frac{4}{n^3}}{\frac{1}{n^3}+1}\rightarrow \frac{1}{3}\cdot \frac{1+4\cdot 0}{0+1}\),

für \(n\rightarrow \infty\).

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Vielen vielen Dank

Answer 2

Hallo

untersuche die 2 Faktoren getrennt. wenn beide konvergieren, konvergiert der GW zum Produkt der GW, wenn mindestens einer nicht konvergiert, konvergiert das Produkt falls der andere gegen eine Konstante≠0 konvergiert, falls einer der Faktoren Gengen 0 der andere gegen 00 geht muss man genauer werden.

Gruß lul