Nullstelle Kurvenschar exponentialfunktion

Question

Aufgabe:

geg.: fa(x)=(x/a)*e^(ax)

ges.: Nullstellen, extrema, Wendepunkt

Problem/Ansatz:

Wie muss ich hier die gleichung umstellen, damit ich die Nullstelle rausbekomme?

Danke im voraus

Answer 1

Ich schreibe die Funktion mal etwas anders

fa(x) = x/a·e^(a·x)

fa(x) = 1/a·x·e^(a·x)

Jetzt Anwendung des Satzes vom Nullprodukt

1/a kann nicht Null werden

x wird null für x = 0

e^(a·x) kann auch nicht null werden sondern ist immer positiv.

Wir sehen, dass die einzige Nullstelle bei x = 0 liegt. Das kann man auch zeichnerisch sehen. Hier die Graphen der Funktion für a = 1 ; a = 2 und a = 3

~plot~ x/1·e^(1·x);x/2·e^(2·x);x/3·e^(3·x);[[-3|1|-0.5|3]] ~plot~

Comments

Dankeschön, für das extrema hab ich jetzt x=-1/a heraus

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x = - 1/a ist richtig.

Wenn bei dir a > 0 gilt, dann ist das immer ein Tiefpunkt.

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Für den Wendepunkt hab ich x=-2/a

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x = - 2/a ist richtig. Beachte das Sowohl die Extrem- als auch die Wendepunkt immer eine y-Koordinate haben, die in der Regel auch angegeben werden muss.

Also für a > 0

Tiefpunkt: TP(- 1/a | - 1/(a^2·e))

Wendepunkt: WP(- 2/a | - 2/(a^2·e^2))

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Bei der Aufgabe danach steht, dass man das Verhalten von f0,5 für x->-unendlich überprüfen soll. Ich habe da +unendlich raus, aber verstehe nicht warum

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Bei der Aufgabe danach steht, dass man das Verhalten von f0,5 für x->-unendlich überprüfen soll. Ich habe da +unendlich raus, aber verstehe nicht warum

Das verstehe ich auch nicht, da es falsch ist was man ja vermutlich auch schon an der Skizze sehen kann. Richtig wäre für a > 0

lim (x → - ∞) fa(x) = 0^- (Das Minus setze ich hier meist dazu wird aber in der Regel weggelassen. Ich finde es nur zweckmäßig)

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Ja, stimmt. Habe mein Fehler entdeckt :)

Dankeschön

Answer 2

Du musst 0 für fa(x) einsetzen. Wende dann den Satz vom Nullprodukt an.

Comments

Ich krieg dann irgendwie a*lna=lnx/x raus

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Wie hast du a*lna=lnx/x rausbekommen?

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Ja, das ist mir bewusst.

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Ich weiß nicht wie ich es umstelle

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Satz vom Nullprodukt: Ist p · q = 0, dann ist p = 0 oder q = 0.

Angewendet auf deine Funktion: Ist

        (x/a) · e^ax = 0,

dann ist

(1)        x/a = 0

oder

(2)        e^ax = 0.

Die Lösungen von (1) sind Nullstellen von f_a.

Die Lösungen von (2) sind Nullstellen von f_a.

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Also hat die Funktion nur eine Nullstelle bei x=0?

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Also hat die Funktion nur eine Nullstelle bei x=0?

Ja

Ich krieg dann irgendwie a*lna=lnx/x raus

Du hast Umformungen durchgeführt, die du nicht machen darfst. Weil du eine Regel verinnerlicht hast, die es nicht gibt. Wenn du nicht identifizierst, was für eine Regel das ist, dann wirst du bei nächster Gelegenheit die gleiche Regel wieder anwenden. Und wieder ein falsches Ergebnis bekommen