Integral mit e Funktion über unendlich.

Question

Wie kann ich das lösen?

\( \int \limits_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{t \cdot(a-s)} \mathrm{d} t \)

Das hier muss raus kommen:

\( \frac{1}{s-a} \)

Answer 1

Aloha :)

Die Konvergenz des Integrals hängt von \(a\) und \(s\) ab. Für \(a\ne s\) gilt:$$\int\limits_0^\infty e^{t(a-s)}\,dt=\lim\limits_{T\to\infty}\int\limits_0^Te^{t(a-s)}\,dt=\lim\limits_{T\to\infty}\left[\frac{e^{t(a-s)}}{a-s}\right]_0^T=\lim\limits_{T\to\infty}\left(\frac{e^{T(a-s)}}{a-s}-\frac{e^{0\cdot(a-s)}}{a-s}\right)$$$$\phantom{\int\limits_0^\infty e^{t(a-s)}\,dt}=\lim\limits_{T\to\infty}\left(\frac{e^{T(a-s)}}{a-s}-\frac{1}{a-s}\right)\quad\text{für }a\ne s$$

Für \(a>s\) existiert der Grenzwert nicht, weil die \(e\)-Funktion ins Unendliche wächst. Im Fall \(a=s\) wäre der Integrand \(e^{t(a-s)}=1\) und das Integral würde ebenefalls divergieren. Für \(a<s\) ist der Exponent der \(e\)-Funktion negativ, sodass die gegen \(0\) konvergiert:$$\int\limits_0^\infty e^{t(a-s)}\,dt=0-\frac{1}{a-s}=\frac{1}{s-a}\quad\text{für } a<s$$

Answer 2

Das Integral konvergiert nicht. Wahrscheinlich soll es aber heißen

$$ \int_0^\infty e^{-t(a-s)} dt$$ mit der Substitution \( x = t(a-s) \) folgt \( dt = \frac{dx}{a-s} \)

Daraus ergibt sich $$  \int_0^\infty e^{-t(a-s)} dt = \frac{1}{a-s} \int_0^\infty e^{-x} dx = \frac{1}{a-s} \cdot \left(-e^{-x}\right) \bigg |_0^\infty = \frac{1}{s-a}$$

Comments

Für die Funktion \( f_{1}(t)=e^{a t} \) mit \( t \geq 0 \) ist die Laplace-Transformierte
\( F_{1}(s)=\frac{1}{s-a} \)

Jetzt versuche ich selbst auf F1(s) zu kommen.Da gibt es ja die Formel:

\( F(s)=\int \limits_{0}^{\infty} f(t) e^{-s t} \mathrm{~d} t \)

Wobei \( F(s)=\mathscr{L}\{f(t)\} \) ist.

Also sieht ja meine Formel so aus:

$$\mathscr{L}(f_{1})=\int \limits_{0}^{inf}e^{a*t}*e^{-s*t} \quad dt \\ =\int \limits_{0}^{inf}e^{t(a-s)}\quad dt$$

Oder habe ich da was übersehen?