Bestimmen Sie den Definitionsbereich der folgenden Funktion: g(x): = (x^2 + x^3)/ √(x^2 + x^3)

Question

Bestimmen Sie den Definitionsbereich D ⊆ ℝ der folgenden Funktion g : D → ℝ

g(x) = $$\frac { { x }^{ 2 }+{ x }^{ 3 } }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+{ x }^{ 3 } }  } $$

Für welche x ∈ D ist g stetig, für welche x ∈ ℝ / D ist g stetig ergänzbar ?

Answer 1

g(x): = (x^2 + x^3)/ √(x^2 + x^3)          

Definiert für  x^2 + x^3 > 0, d.h.

x^2 (1+x) > 0         |x≠0

(1+x) >0

x > -1

D = {x | -1<x<0 oder 0<x}

In D gilt: 

 

g(x): = (x^2 + x^3)/ √(x^2 + x^3)           

 = (√(x^2 + x^3) * √(x^2 + x^3)) / √(x^2 + x^3)           | kürzen

= √(x^2 + x^3)

hier ist jetzt x = 0 kein Problem mehr. Die Definitionslücke ist stetig hebbar mit der Definition:

g(0) : = √0 = 0

Ansonsten gilt aber weiterhin, dass unter der Wurzel keine negative Zahl stehen darf. Also muss gelten:

x > -1.