Zeigen Sie, dass f und g auf ihrem Definitionsbereich genau einen Schnittpunkt

Question

Hallo Mathelounge community,

Ich habe wieder mal einen Ansatz jedoch keine Ahnung ob das richtig wäre, und wollte fragen ob mir jemand vlt. helfen könnte und darüber schauen könnte und mir sagen kann, ob die methode richtig ist oder ab man eine andere anwenden muss.
Danke im voraus!

Aufgabe:

Folgerungen fur stetige Funktionen
Seien f, g : R_≥0 → R zwei Funktionen mit
f(x) = −x² + 3 und g(x) = e^x
.
Zeigen Sie, dass f und g auf ihrem Definitionsbereich genau einen Schnittpunkt
besitzen, also genau ein x₀ ∈ R_≥0 existiert mit f(x₀) = g(x₀). Sie durfen hier ¨
ohne Beweis annehmen, dass e > 2.71 gilt. (Fur Teilpunkte konnen Sie zeigen,
dass mindestens ein Schnittpunkt existiert).
Tipp: Zwischenwertsatz

Problem/Ansatz:

Um zu zeigen, dass die Funktionen f(x) = −x² + 3  und g(x)= e^x genau einen Schnittpunkt auf ihrem Definitionsbereich R_≥0
haben, können wir den Zwischenwertsatz verwenden. Zunächst stellen wir fest, dass f(0)=3  und g(0)=1 , also f(0)>g(0)
. Da f(x) streng monoton fallend und g(x) streng monoton steigend ist, muss es einen Punkt x₀ geben, an dem sie sich schneiden, d.h. f(x₀)=g(x₀)
.
Um zu zeigen, dass es genau einen solchen Punkt gibt, betrachten wir die Differenz der beiden Funktionen, d.h. h(x)=f(x)−g(x)=−x²+3−e^x. Diese Funktion ist auf R≥₀ streng monoton fallend, da ihre Ableitung h′(x)=−2x−e^x auf R_≥0 immer negativ ist (da e>2.71). Daher kann h(x)  nur einmal den Wert 0 annehmen, d.h. es gibt genau einen Schnittpunkt von f
und g

Answer 1

Betrachte \(h(x)=f(x)-g(x)\). Aus \(h(1)>0\) und \(h(0)<0\), da \(\mathrm{e}>2,71\), folgt unmittelbar die Existenz einer Nullstelle im Intervall \((0;1)\) (ZWS). Dass diese Nullstelle eindeutig und somit die einzige Nullstelle ist, folgt direkt aus der von dir gezeigten Monotonie für \(h\). Fertig.

Answer 2

Zeige:

g(0) = 1 und g(1) = e > 2.71 und g'(x) > 0 für alle x ∈ D

f(0) = 3 und f(1) = 2 und f'(x) ≤ 0 für alle x ∈ D

Ich untersuche hier im Gegensatz zu dir noch die Funktionswerte an der Stelle 1. Warum ist das wichtig.

Wenn die eine Funktion streng monoton fallend und die andere streng monoton steigend ist, kann es nicht mehr als einen Schnittpunkt geben.

Comments

Hallo,
wäre das so richtig?

Betrachten Sie die Funktionen an den Endpunkten:

Bei x=0  haben wir f(0)=3 und g(0)=1  Also, f(0) > g(0)
.
Bei x=1 ,haben wir f(1)=2 und g(1)=e > 2.71. Also, f(1) < g(1)

Betrachten Sie die Ableitungen der Funktionen:

Die Ableitung von f(x) ist f′(x)=−2x. Da x ≥ 0
, ist f′(x) ≤ 0. Also, f(x)
ist monoton fallend auf R ≥ 0
.
Die Ableitung von g(x)
ist g′(x)=e^x>0
für alle x∈ R ≥ 0. Also, g(x)
ist monoton steigend auf R≥0

Jetzt können wir den Zwischenwertsatz anwenden.
Da f(0) > g(0) und f(1) < g(1) , und da f(x)
monoton fallend und g(x) monoton steigend ist, muss es mindestens einen Punkt x0∈[0,1]
geben, an dem sie sich schneiden, d.h. f(x0)=g(x0)
.
Da sowohl f(x) als auch g(x)
stetig sind und ihre Ableitungen auf dem Intervall [0,1]
unterschiedliche Vorzeichen haben (eine ist immer negativ, die andere immer positiv), können sie sich auf diesem Intervall nur einmal schneiden. Daher gibt es genau einen Schnittpunkt von f
und g auf ihrem Definitionsbereich R≥0

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wir können sogar sagen das f streng monoton fallend ist weil nur f'(0) = 0 ist und ansonsten f'(x) < 0 gilt.

Es geht auch ohne Ableitung

Es gilt: f(a) > f(b) für alle a < b

Ebenso ist g streng monoton steigend

Ansonsten sieht das doch gut aus.

Answer 3

\(f(x) = −x^2 + 3\)   und \(g(x) = e^x\)

\( f(0) = \green {3} \)            und    \(g(0) = 1\)    →  \( \green {3}>1\) 

Die Gerade  \( y=\green {3} \)  schneidet   \(g(x) = e^x\)   

\( e^x=\green {3} \)  schneidet \(g(x) = e^x\)  in G \((ln(3)|\green {3} )\)

Nullstellen der Parabel  \(f(x) = −x^2 + 3\):

\( −x^2 + 3=0\)

\( x_1=\sqrt{3}\)

\( x_2=-\sqrt{3}\)   entfällt, weil nicht im Definitionsbereich \(R_{≥0}\)

\( \sqrt{3}\red{>}ln(3)\)

Hieraus folgt, dass es nur einen Schnittpunkt  im Definitionsbereich \(R_{≥0}\) gibt.

Comments

Die Gerade  \( y=\green {3} \)  schneidet   \(g(x) = e^x\)    in G \(( e^\green {3}|\green {3} )\)

Sicher nicht.

Hieraus folgt, dass nur einen Schnittpunkt  im Definitionsbereich \(R_{≥0}\) gibt.

Weshalb sollte das eine Schlussfolgerung sein, wenn die Nullstelle von f kleiner als ein beliebiger Wert ist?

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Verbesserungen waren nötig. Jetzt sollte es stimmen.

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Die Schlussfolgerung am Ende ist dennoch unklar und wirkt völlig aus der Luft gegriffen. Zumal nicht klar ist, warum es deswegen keine weiteren Schnittpunkte gibt.

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Ein Bild soll meinen Gedankengang verdeutlichen: