Differenzierbarkeit einer Funktion auf ihrem Definitionsbereich

Question

Ich soll prüfen, ob die Funktion f:R->R f(x)=cos(x*sin(x)) in ihrem Defintionsbereich differenzierbar ist. Ich weiß, dass ich auf diffbarkeit in einem Punkt mit hilfe des Differentientenquotienten prüfen kann, aber ich weiß nicht, wie ich eine Funktion auf ihrem komplettem Definitionsbereich prüfen kann. Kann mir da jemand vielleicht einen Tipp geben?

Comments

Die Funktion ist eine Komposition Differenzierbarer f in Funktionen und damit auch differenzierbar.

Reicht das nicht als Begründung?

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Danke, dass die Komposition diffbarer Funktionen diffbar ist reicht natürlich, ist mir aber irgendwie nicht eingefallen.

Answer 1

Du kannst natürlich die im Kommentar vorgeschlagenen Begr. noch

etwas auswalzen, etwa so:

Die Funktionen zu den Termen x und sin(x) sind beide diffb. auf ihrem Definitionsbereich,

also auch die Funktion zu x*sin(x).   (Produktregel).

Da auch die Funktion zum Term cos(x) auf IR diffb. ist, ist wegen der Kettenregel

auch  cos( x*sin(x))  der Funktionsterm einer auf IR diffb. Funktion.

Wenn du das über die Differenzierbarkeitsdefinition machen willst, wird

es echt wild.