Wenn die kleinere der beiden ≤20 ist, mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dann die größere ≥80?

Question

Aufgabe:

Aus der Menge {1, 2, … , 100} werden gleichzeitig zwei Zahlen zufällig herausgegriffen. Wenn die kleinere der beiden ≤20 ist, mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dann die größere ≥80?

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht, welchen Ansatz man hier wählt. Ich hätte jetzt nur überlegt, dass für die größere Zahl nur 80 Möglichkeiten zur Verfügung stehen, nicht mehr 100. Deswegen vielleicht 21/80 ?

Danke für jede Hilfe!

Comments

Hallo zusammen, wie ist das Zufallsexperiment genau zu verstehen? Kann auch zweimal die gleiche Zahl herausgegriffen werden? Solange das nicht geklärt ist, besteht die Gefahr, eine andere Aufgabe zu lösen als die vom Aufgabensteller gemeinte.

---

Es werden zwei Zahlen gleichzeitig herausgegriffen, somit müssen die beiden Zahlen unterschiedlich sein.

Ich habe die Aufgabe jetzt mit Hilfe der Ideen der Kommentatoren erfolgreich gelöst :) (Baumdiagramme als Input von "oswald"  in Kombination mit den Überlegungen von "Der_Mathecoach".)

---

Die Gleichzeitigkeit des Herausgreifens schließt für mich nicht aus, dass zweimal die gleiche Zahl herausgegriffen wird. (Es steht nirgendwo explizit, dass zwei VERSCHIEDENE Zahlen herausgegriffen werden. Wenn ich zum Beispiel gleichzeitig zwei Zahlen mit gewöhnlichen Würfeln würfle, kann ja auch zweimal die gleiche Zahl herauskommen.) Letztlich habt ihr wohl alle die Aufgabe in der einen denkbaren Interpretation derart gelöst, dass ihr auf das in dieser Interpretation korrekten Ergebnis gekommen seid. :-) Ich hatte die Aufgabe zunächst in der anderen Interpretation verstanden. In einer Klausur wäre es wohl sinnvoll, im Zweifel nachzufragen, welche Interpretation gemeint ist. Das setzt natürlich voraus, dass man überhaupt auf die Idee kommt, dass die Aufgabe unterschiedlich verstanden werden kann.

---

Aber wenn eine Menge 100 Zahlen enthält (man stelle sich 100 Kugeln vor) und ich mit einer Hand gleichzeitig (!) Zwei herausgreife, ist es unmöglich, dass ich zweimal die gleiche Zahl in der Hand halte. Denn jede Zahl ist ja nur einmal in der Menge enthalten und es handelt sich aufgrund der Gleichzeitigkeit um ein Ziehen ohne Zurücklegen. Das ist der Unterschied zum Würfen. Denk eher an eine Urne.

---

Ich stimme voll zu, dass bei der Vorstellung einer Urne mit 100 Kugeln, aus denen zwei mit einer Hand gleichzeitig herausgegriffen werden, wohl jeder davon ausgeht, dass nicht zweimal die gleiche Kugel herausgegriffen werden kann. Ich empfehle jedem Aufgabensteller, die Aufgabenstellungen so klar zu formulieren wie du Felino es in deinem Kommentar getan hast.

Answer 1

Zweistufiges Baumdiagramm, eine Stufe pro gezogener Kugel.

Auf der ersten Stufe werden die drei Fälle ≤20, ≥80 und sontige unterschieden.

Ebenso auf der zweiten Stufe.

Aus diesem Baumdiagramm kannst du dann ein zweites Baumdiagramm erstelln. In diesem kommt die kleinere Kugel auf die erste Ebene und die größere auf die zweite Ebene.

Comments

Danke für deine Antwort, Oswald.

Das erste Baumdiagramm habe ich hinbekommen.

Wie das zweite aussehen soll, habe ich leider noch nicht verstanden. Was meinst du genau damit, dass ich es aus dem ersten Baumdiagramm erstellen soll?

Und bedeuten da die 2 Ebenen, dass es gar keine Verästelungen gibt, sondern nur „Erste Kugel, dann zweite Kugel“? Aber welche Wahrscheinlichkeiten kämen dann an die 2 Äste?

---

Die kleinere Kugel hat mit einer Wahrscheinlichkeit von

        1/5 + 59/100·20/99 + 21/100·20/99

einen Wert von höchstens 20, mit Wahrscheinlichkeit

        59/100·58/99 + 59/100·21/99 + 21/100·59/99

einen Wert von 21 bis 79 und mit Wahrscheinlichkeit

        21/100·20/99

einen Wert von mindestens 80. Das sind die drei Verzweigungen der ersten Ebene des zweiten Baumdiagramms.

Answer 2

Hier nur noch die später korrigierte Version:

Jedes Zahlentupel (a, b) mit 1 ≤ a < b ≤ 100 ist gleich wahrscheinlich.

Es gibt ∑ (n = 1 bis 20) (100 - n) = 1790 Zahlentupel bei denen a ≤ 20 gilt.

Und 20·21 = 420 Zahlentupel, bei denen a ≤ 20 und b ≥ 80 gilt.

Damit müsste die Wahrscheinlichkeit eher 420/1790 = 0.2346 sein.

Comments

0,2346 hab ich jetzt auch heraus :)