Hallo,
Aufgabe g) mit Geradengleichungen:
Gerade durch die Punkte D und B
\( g:\; \vec{x}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}4 \\ -1 \\ 8\end{array}\right) \)
Mittelpunkt:
\( M \) : \( \overrightarrow{O B}+\frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{B C} \)
\(M= \left(\begin{array}{l}6 \\ 2 \\ 8\end{array}\right)+\frac{1}{2} \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\2\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6,5 \\ 3\\7,5\end{array}\right) \)
Gerade durch A und M:
\( h:\; \vec{x}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}5,5 \\ 2 \\ 6,5\end{array}\right) \)
Geradengleichungen gleichsetzen ergibt das Gleichungssystem
\( \begin{aligned} 2+4 r &=1+5,5 \mathrm{~s} \\ 3-r &=1+2 \mathrm{~s} \\ 8r&=1+6,5 \mathrm{~s} \end{aligned} \)
Daraus ergibt sich \(r= \frac{2}{3} \) und \(s= \frac{2}{3} \)
\( \frac{2}{3} \) für r in die 1. Gleichung einsetzen:
\( \left(\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 0\end{array}\right)+\frac{2}{3}\left(\begin{array}{c}4 \\ -1 \\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}2+\frac{8}{3} \\ 3-\frac{2}{3} \\ 0+\frac{16}{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{14}{3} \\ \frac{7}{3} \\ \frac{16}{3}\end{array}\right)=S \)
Streckenlängen:
\( |\overrightarrow{A S}|=\sqrt{\left(\frac{14}{3}-1\right)^{2}+\left(\frac{7}{3}-1\right)^{2}+\left(\frac{16}{3}-1\right)^{2}}=\sqrt{34} \)
\( |\overrightarrow{S M}|=\sqrt{\left(6,5-\frac{14}{3}\right)^{2}+\left(3-\frac{7}{3}\right)^{2}+\left(7,5-\frac{16}{3}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{34}}{2} \)
Die Strecken werden also im Verhältnis 2:1 geteilt.
Gruß, Silvia
