Aufgabe:
Zeigen Sie, dass alle Richtungsableitungen in (0,0) existieren.
Problem/Ansatz:
Sei f: R2 -> R definiert durch
f(x,y)= 1 , falls 0<y<x2 . sonst 0.
Muss ich alle möglichen Fälle durchgehen und zeigen, dass ne zahl rauskommt
Ja, so steht es in der Aufgabe
und welche fälle muss ich betrachten?
Fang doch mal einfach an. Nimm die Richtungen längs der Koordinstenachsen, dann die Winkelhalbierenden .....
Sei A={(x,y) : 0<y<x2}A=\{(x,y):\; 0<y<x^2\}A={(x,y) : 0<y<x2}. Nun zeige:
Zu jedem h=(x0,y0)≠(0,0)h=(x_0,y_0)\neq (0,0)h=(x0,y0)=(0,0) gibt es ein r>0r>0r>0,
so dass t⋅h∉A ∀t∈(−r,r)t\cdot h\notin A\; \forall t\in (-r,r)t⋅h∈/A∀t∈(−r,r).
Dann gilt nämlichlimt→0f((0,0)+t⋅h)−f(0,0)t=limt→0f(t⋅h)t=limt→00t=0.\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f((0,0)+t\cdot h)-f(0,0)}{t}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(t\cdot h)}{t}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{0}{t}=0.t→0limtf((0,0)+t⋅h)−f(0,0)=t→0limtf(t⋅h)=t→0limt0=0.
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