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Aufgabe:

Zeigen Sie, dass alle Richtungsableitungen in (0,0) existieren.

Problem/Ansatz:

Sei f: R2 -> R definiert durch

f(x,y)= 1 , falls 0<y<x2  . sonst 0.

Muss ich alle möglichen Fälle durchgehen und zeigen, dass ne zahl rauskommt

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Ja, so steht es in der Aufgabe

und welche fälle muss ich betrachten?

Fang doch mal einfach an. Nimm die Richtungen längs der Koordinstenachsen, dann die Winkelhalbierenden .....

1 Antwort

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Sei A={(x,y) :   0<y<x2}A=\{(x,y):\; 0<y<x^2\}. Nun zeige:

Zu jedem h=(x0,y0)(0,0)h=(x_0,y_0)\neq (0,0) gibt es ein r>0r>0,

so dass thA  t(r,r)t\cdot h\notin A\; \forall t\in (-r,r).

Dann gilt nämlichlimt0f((0,0)+th)f(0,0)t=limt0f(th)t=limt00t=0.\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f((0,0)+t\cdot h)-f(0,0)}{t}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(t\cdot h)}{t}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{0}{t}=0.

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