Reihenfolge der Richtungsableitungen

Question

Aufgabe:

in unserem Skript steht dieser Hinweis:

 \(f(x):=x_{1} \cdot x_{2} \cdot \frac{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}, \quad x \neq 0\)
\(\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1} \partial x_{2}}(0) \neq \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2} \partial x_{1}}(0)\)

welcher besagt, dass die Reihenfolge der Ableitung wichtig ist.

Problem/Ansatz:

Wenn ich die Ableitungen in der entsprechenden Reihenfolge berechne, dann kommt bei mir das Gleiche raus.

Hier die ausgetippte Formel für wolframalpha damit ihrs einfacher habt: ∂/∂x(∂/∂y(x^2-y^2)/(x^2+y^2)*xy)

Versehe ich die Aussage falsch?

Wir haben gerade eine ähnliche Aufgabe:

\( f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}x y \cdot \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0 & (x, y)=(0,0)\end{array}\right. \)

Hier wird wie oben nach der Ungleichheit von \(\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}(0,0) \neq \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}(0,0)\) gefragt. Die kann ich ja nicht zeigen, wenn die beiden Ableitungen gleich sind. Inwieweit spielt hier die Definition von 0 falls x=0 eine Rolle? Das ändert sich doch erst nicht mit den Ableitungen, denn 0'=0

Answer 1

Wenn du \(x_{1} \cdot x_{2} \cdot \frac{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}\) nach \(x_1\) ableitest und das Ergebnis dann nach \(x_2\) ableitest, dann bekommst du das gleiche wie wenn du zuerst nach \(x_2\) und das Ergebnis dann nach \(x_1\) ableitest.

Aber damit berechnest du nicht du zweiten partiellen Ableitungen von \(f\) an der Stelle \((0,0)\). Das liegt daran, dass

        \(f(x) = x_{1} \cdot x_{2} \cdot \frac{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}\)

für \(x =(0,0)\) überhaupt nicht gilt. Übrigens ist auch

        \(\frac{-x_1^6 -9x_1^4x_2^2 + 9x_1^2x_2^4 + x_2^6}{(x_1^2+x_2^2)^3}\)

für \(x =(0,0)\) nicht definiert.

Bestimme die zweiten partiellen Ableitungen bei \((0,0)\) stattdessen mittels des Differenzenquotienten.

Comments

Kann ich dann die erste Ableitung ganz normal ableiten und erst danach den Differenzenquotienten verwenden?

d.h.
\(\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{4x^{2}y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}+\frac{x^{2}y-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}\)

einsetzen in:

\(\lim_{{h \to 0}} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{{h}}\)

Wieso soll ich den Differenzenquotient dann auf einmal bei (0,0) auswerten können, wenn das vorher nicht der Fall war?

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Ich glaub ich habs verstanden.

\(\frac{\partial f}{\partial y}(\frac{\partial f}{\partial x}f(0,0))=\lim_{{h \to 0}} \frac{{f(0,h) - f(0)}}{{h}} =\lim_{h \to 0}\frac{x^4h+4x^2h^2-h^4}{x^4h+2x^2h^3+h^5}=\infty\)

\(\frac{\partial f}{\partial x}(\frac{\partial f}{\partial y}f(0,0))=\lim_{{h \to 0}} \frac{{f(h,0) - f(0)}}{{h}}=\lim_{h\to0}\frac{h^5}{h^5}=1\)

Stimmt das so?

Danke für deinen Tipp vorhin :)