Richtungsableitungen und totale Differenzierbarkeit, lokale Extrema

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Funktion
f : R² → R, f(x, y) :=    (x·(sin(y))²)/x²+y²                        für (x, y) ∈ R² \ {(0, 0)}
                                              0                                        für (x, y) = (0, 0).

(i) Bestimmen Sie die Richtungsableitungen von f im Punkt (0, 0) und untersuchen Sie f auf totale Differenzierbarkeit.

(ii) Entscheiden und begründen Sie, ob f in (0, 0) ein lokales Extremum hat.

Hinweis: Es könnte hilfreich sein, zunächst den Grenzwert
lim_u→0 sin(u)/u
zu berechnen. Verwenden Sie die Regel von L’Hospital.

Problem/Ansatz:

Hallo!

So, mein Problem ist, dass ich mittlerweile gar nicht mehr weiß, was richtig ist, da unsere bisherigen HA ziemlich vernichtend bewertet wurden. Ich hätte gern einen Überblick, wie man solche Aufgaben nun rechnet.

Ich müsste doch:

- zuerst die Stetigkeit prüfen (entweder über eine Nullfolge oder Polarkoordinaten), aber mit dem Sinus im Zähler...

- und wie verfahre ich dann?

- da kein Richtungsvektor für die Richtungsableitung gegeben ist, kommt der Einheitsvektor zum Tragen (???)

Wäre für jede Hilfe dankbar!