Richtungsableitung/ totale Differenzierbarkeit

Question

Aufgabe:

Ist folgende Funktion richtungsdifferenzierbar &  total differenzierbar?

f = xy^2/(x^2+y^4)

Text erkannt:

\( f=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{4}} & \text { für } x \neq 0 \\ 0 & \text { für } x=0\end{array}\right. \)
(1)
(a) An scelle \( (0,0) \) stebig? \( \frac{x y^{2}}{x^{2} y^{4}} \)
\( \begin{array}{l} \cdot\left(x+y^{2}\right)^{2}=x^{2}+2 x y^{2}+y^{4} \\ x^{2}+2 x y^{2}+y^{4} \geq 0 \\ x^{2}+y^{4}=-2 x y^{2} / x y y^{2} \\ \frac{x^{2}+y^{4}}{x y^{4}} \geq-2 \leftrightarrow \frac{x y^{2}}{x^{4}+y^{4}}=\frac{1}{2} \text {..mbere scharke } \end{array} \)
(b) Zeigen Sie: An der stelle (0,0) existieren alle Ridetungsableitungen der Funktion ff.
\( \frac{h e h^{2} \cdot e^{2}}{k^{2} e_{1}^{2}+h^{2} e_{2}^{4}}=\frac{h^{2} e e^{2}}{\phi^{2}\left[e_{1}^{2}+k_{1}^{2} e^{2}\right]} \)
mit \( e=\left(\begin{array}{l}e_{1} \\ e_{2}\end{array}\right) \); weun \( e_{1} \neq 0 \)... Ridoungsdifflear für \( e_{1}=0: \frac{z e^{2}}{e_{1}+t_{2}^{2} e_{2}^{4}}=\frac{h_{1}}{h e_{2}{ }_{2}}=\frac{1}{h^{2} e_{2}^{2}} \rightarrow \frac{1}{0} \)... nidut riduaugrdifflear
- Hau betradetet \( e \) als \( \left(e_{2}\right) \), deshatb darf \( e_{1}=0 \) sein
(c) Existiert das totale Differential von f an der stelle \( (0,0) \) ? total diffear wenu \( f(\xi+1)=f(\xi)+B(\xi) h+a(l l i l i) \)
\( \frac{x^{3} y^{4}\left(x^{2} y^{2}\right)}{}=1 \cdot \frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{4}} \ldots L^{4} \beta t \) sich ucht in livearen Theru zerlegen... Hein totaler Differential

Text erkannt:

(b) Zeigen Sie: An der selle \( (0,0) \) eristieren alle Riditungsableitungen der Funktion f. mit \( e=\left(\begin{array}{l}e_{1}^{1} \\ e_{2}\end{array}\right) \), weun \( e_{1} \neq 0 \)... Riclocumgsdiffbar
- Han betsadtere e als \( \left(e_{2}^{2}\right) \), deshatlb darf \( e_{1}=0 \) sein
(C) Existiert das torale Differential von f an der solle \( (0,0) \) ? towal difflear wemu \( f(\xi+1)=f(\xi)+b(\xi) h+a \) (lllil)

Habe ich dies richtig berechnet? Gibt es einen Trick, wie man dies zur Kontrolle im Internet überprüfen könnte?

Ich bin auf folgende Resultate gekommen:

- f ist stetig,

- für e_1 ungleich 0 existieren die Richtungsableitungen,

- nicht total differenzierbar.

LG V

Answer 1

Aloha :)

Wir prüfen zuerst die notwendige Voraussetzung, dass die Funktion an der Stelle \((0;0)\) stetig ist. Damit dies gilt, müssen alle möglichen Wege zum Nullpukt zu demselben Grenzwert führen und dieser Grenzwert muss gleich dem Funktionswert an der Stelle \((0;0)\) sein, also gleich \(f(0;0)=0\).

Wir wählen als Weg \(\binom{\red x}{\green y}=\binom{\red{a^2}}{\green a}\) mit \(a\to0\). Dafür lautet der Funktionsterm:$$f(\red x;\green y)=f(\red{a^2},\green a)=\frac{\red{a^2}\cdot \green a^2}{(\red{a^2})^2+\green a^4}=\frac12$$Auf dem gewählten Weg zum Urpsrung ist der Funktionswert konstant bei \(\frac12\). Daher ist auch der Grenzwert \(a\to0\) gleich \(\frac12\) und damit ungleich dem Funktionswert \(0\) an der Stelle \((0;0)\).

Daher ist die Funktion nicht stetig in \((0;0)\) und damit auch nicht differenzierbar.

Comments

Hallo, vielen Dank für deine Antwort!

Wenn sie nicht total diffbar ist, dann wird sie auch natürlich nicht richtungsdiffbar, richtig?

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$$\begin{array}{c}\text{stetig part. diffbar}&\implies\text{total diffbar}&\implies\text{part. diffbar}\\\Downarrow & \Downarrow\\\small\text{alle Richtungsabl. existieren} & \text{stetig}\end{array}$$